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SS変換

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SS変換とは、ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2の構成の中で定義された、自然数と関数と変換の組から、自然数と関数と変換の組への写像である。Mikadukim さんの表記[1] で書き直した。

準備編集

  • 0以上の整数を「数」、数全体から数全体への写像を「関数」、関数全体から関数全体への写像を「変換」と呼ぶことにする。
  • 変換 \(S\) に対して、新たな変換 \( S^* \)を次で定義する。

\[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x) \]

SS変換の定義編集

「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」から「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」への写像 SS を以下のように定義し、SS変換と呼ぶ。

バージョン1のSS変換編集

\[ SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, S^{f(m)}f,\, S^{f(m)}) \]

バージョン2のSS変換編集

\[ SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \]

バージョン1と2の違い 編集

バージョン1とバージョン2では、生成される関数の大きさが異なる。バージョン1のSS変換では、S変換をたくさん(f(m)回)繰り替えした関数ができるが、バージョン2のSS変換では、S変換の繰り返し回数を変数化した関数が得られる。似ている様に見えるが、バージョン1のSS変換は、 \(A(0,1)→A(1,0,1,1)→A(1,0,1,2)→A(1,0,1,3)\) と数を増やす効果しかないのに対して(実際にはこれよりも少しだけ大きい)、バージョン2のSS変換は、 \(A(0,1)→A(1,0,0,n)→A(2,0,0,n)→A(3,0,0,n)\) と関数をどんどん強める効果を持つ。このように、より大きな巨大数を生み出すためには、「関数を変換する操作をたくさん繰り返す」よりも「関数を変換する操作を繰り返す回数を変数化した関数を作る」ことの方が効果が大きいことを示すために、バージョン2が作られた。

バージョン3では、この重要な「関数を変換する操作を繰り返す操作を変数化する」という箇所のみを取り出して、よりシンプルな形に定義された。

出典 編集

  1. SS変換の明示的な表記について

関連項目 編集

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