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s(n)変換

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s(n)変換
基本関数 \(f^x(x)\)
急増加関数 \(f_{\omega^\omega}(n)\)

s(n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン3で定義された関数から関数への写像で、このように定義される[1]

\begin{eqnarray*} s(1)f & := & g; g(x)=f^x(x) \\ s(n)f & := & g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (n>1) \end{eqnarray*}

\(f(x) = x+1\) とすると、この大きさは、次のように計算できる。

\begin{eqnarray*} f^2(x) & = & x+2 \\ f^3(x) & = & x+3 \\ s(1)f(x) & = & f^x(x) = x+x = 2x \\ s(1)^2f(x) & = & g^x(x) = 2^x x \approx 2^x ただし g(x)=2x \\ s(1)^3f(x) & \approx & h^{x}(x) \approx 2 \uparrow ^2 x ただし h(x)=2^x \\ s(2)f(x) & = & s(1)^{x}f(x) \approx 2\uparrow ^x x \approx A(x,x) = A(1,0,x) \approx f_{\omega}(x) \end{eqnarray*}

ここで、Aは多変数アッカーマン関数で、急増加関数で \begin{eqnarray*} A(..., a3, a2, a1, a0, n) \approx f_{... + \omega^3・a3 + \omega^2・a2 + \omega・a1 + a0}(n) \end{eqnarray*}

と近似されることを使っている。このように、s(2)変換はバージョン1バージョン2S変換と同じ増加速度になる。バージョン1と2では、アッカーマン関数を基本関数としていたが、バージョン3ではs(1)変換、すなわち \(g(x)=f^x(x)\) を基本関数としている。このs(1)変換を \(g(x)=s(1)^xf(x)\) と数え上げることで、S変換と同じ強さのs(2)変換ができるので、スタート地点を簡単にして、より簡潔な定義とすることができた。

\(f(n) = A(X, b, n)\) (Xは0個以上の0以上の整数) とすると、 \begin{eqnarray*} A(X, b+1, n) & = & A(X, b, A(X, b+1, n-1)) \\ & = & f(A(X , b+1, n-1)) \\ & = & f^2(A(X, b+1, n-2)) \\ & = & … = f^n(A(X, b+1, 0)) \\ & \approx & f^n(n) \end{eqnarray*}

となり、

  • s(1)変換の \(s(1)f(x) = f^x(x)\)
  • 急増加関数の \(f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n)\)
  • 多変数アッカーマンで \(f(n) = A(X, b, n)\) として \(A(X, b+1, n) = f^n(n)\)

これらはすべて同じである。つまり、s(1)変換をすることは、急増加関数では順序数に1を足すことと同じで、多変数アッカーマン関数では右から2番目の項に1を加えることと同じである。よって、

\begin{eqnarray*} s(1)s(2)f(x) & \approx & A(1,1,x) \approx f_{\omega + 1}(x) \\ s(1)^2 s(2)f(x) & \approx & A(1,2,x) \approx f_{\omega + 2}(x) \\ s(1)^n s(2)f(x) & \approx & A(1,n,x) \approx f_{\omega + n}(x) \end{eqnarray*}

と計算を続けることができ、さらにこのs(1)変換を数え上げることで、

\begin{eqnarray*} s(2)^2 f(x) = s(1)^x s(2)f(x) \approx A(1,x,x) = A(2,0,x) \approx f_{\omega \times 2}(x) \end{eqnarray*}

と、アッカーマン関数の右から3番目の項に1が足される。以下、同様にして

\begin{eqnarray*} s(2)^n f(x) & \approx & A(n,0,x) \approx f_{\omega \times n}(x) \\ s(3)f(x) & = & s(2)^{x}f(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \approx f_{\omega^2}(x) \\ s(3)^2 f(x) & \approx & A(2,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times 2}(x) \\ s(3)^n f(x) & \approx & A(n,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times n}(x) \end{eqnarray*}

このように、s(3)変換はs(2)変換を数え上げることで、S変換を数え上げたバージョン2のSS変換と同じ効果を持つ。ここまでをまとめると、

  • バージョン1,2のS変換 = バージョン3のs(2)変換
  • バージョン2のSS変換 = バージョン3のs(3)変換

となる。さらに計算を続けると、

\begin{eqnarray*} s(4)f(x) & = & s(3)^{x}f(x) \approx A(x,0,0,x) = A(1,0,0,0,x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ s(1)^4 s(2)^3 s(3)^2s(4)f(x) & \approx & A(1,2,3,4,x) \approx f_{\omega^3+\omega^2 \times 2+\omega \times 3 + 4}(x) \\ s(5)f(x) & \approx & f_{\omega^4}(x) \\ s(6)f(x) & \approx & f_{\omega^5}(x) \\ s(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{n-1}}(x) \\ s(x)f(x) & \approx & f_{\omega^\omega}(x) \end{eqnarray*}

となる。このように、s(n)f(x)は多変数アッカーマン関数配列表記と同じ多重帰納関数(n重帰納関数)であり、関数 \(f(x)=x+1\) にs(x)変換(s(n)変換のnを変数化した変換)をすることで、多重帰納関数の上限である \(f_{\omega^\omega}(x)\) 程度の関数を作ることができる。

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』

関連項目 編集

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