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s(n)変換
基本関数 \(f^x(x)\)
急増加関数 \(f_{\omega^\omega}(n)\)

定義[]

s(n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン3で定義された関数から関数への写像で、このように定義される[1]

\begin{eqnarray*} s(1)f & := & g; g(x)=f^x(x) \\ s(n)f & := & g; g(x)=[s(n-1)^x]f(x) (n>1) \end{eqnarray*}

解析[]

\(f(x) = x+1\) とすると、この大きさは、次のように計算できる。

\begin{eqnarray*} f^2(x) & = & x+2 \\ f^3(x) & = & x+3 \\ s(1)f(x) & = & f^x(x) = x+x = 2x \\ s(1)^2f(x) & = & g^x(x) = 2^x x \approx 2^x ただし g(x)=2x \\ s(1)^3f(x) & \approx & h^{x}(x) \approx 2 \uparrow ^2 x ただし h(x)=2^x \\ s(2)f(x) & = & s(1)^{x}f(x) \approx 2\uparrow ^x x \approx A(x,x) = A(1,0,x) \approx f_{\omega}(x) \end{eqnarray*}

ここで、Aは多変数アッカーマン関数で、急増加関数で \begin{eqnarray*} A(..., a3, a2, a1, a0, n) \approx f_{... + \omega^3・a3 + \omega^2・a2 + \omega・a1 + a0}(n) \end{eqnarray*}

と近似されることを使っている。このように、s(2)変換はバージョン1バージョン2S変換と同じ増加速度になる。バージョン1と2では、アッカーマン関数を基本関数としていたが、バージョン3ではs(1)変換、すなわち \(g(x)=f^x(x)\) を基本関数としている。このs(1)変換を \(g(x)=s(1)^xf(x)\) と数え上げることで、S変換と同じ強さのs(2)変換ができるので、スタート地点を簡単にして、より簡潔な定義とすることができた。

\(f(n) = A(X, b, n)\) (Xは0個以上の0以上の整数) とすると、 \begin{eqnarray*} A(X, b+1, n) & = & A(X, b, A(X, b+1, n-1)) \\ & = & f(A(X , b+1, n-1)) \\ & = & f^2(A(X, b+1, n-2)) \\ & = & … = f^n(A(X, b+1, 0)) \\ & \approx & f^n(n) \end{eqnarray*}

となり、

  • s(1)変換の \(s(1)f(x) = f^x(x)\)
  • 急増加関数の \(f_{\alpha+1}(n) = f^n_\alpha(n)\)
  • 多変数アッカーマンで \(f(n) = A(X, b, n)\) として \(A(X, b+1, n) = f^n(n)\)

これらはすべて同じである。つまり、s(1)変換をすることは、急増加関数では順序数に1を足すことと同じで、多変数アッカーマン関数では右から2番目の項に1を加えることと同じである。よって、

\begin{eqnarray*} s(1)s(2)f(x) & \approx & A(1,1,x) \approx f_{\omega + 1}(x) \\ s(1)^2 s(2)f(x) & \approx & A(1,2,x) \approx f_{\omega + 2}(x) \\ s(1)^n s(2)f(x) & \approx & A(1,n,x) \approx f_{\omega + n}(x) \end{eqnarray*}

と計算を続けることができ、さらにこのs(1)変換を数え上げることで、

\begin{eqnarray*} s(2)^2 f(x) = s(1)^x s(2)f(x) \approx A(1,x,x) = A(2,0,x) \approx f_{\omega \times 2}(x) \end{eqnarray*}

と、アッカーマン関数の右から3番目の項に1が足される。

ここで、 \(s(2)^2f(3)\) の計算は次のように進む。

\begin{eqnarray*} s(2)^2f(3) &=& s(1)^3s(2) f(3) \\ &=& [s(1)^2 s(2)f]^3(3) \\ &=& [s(1)^2 s(2)f]^2[[s(1)s(2)f]^3(3)] \end{eqnarray*}

この計算は、\(s(2)^2 f\) を \(f_{\omega \times 2}\) に、\(s(1)^3 s(2)f\) を \(f_{\omega+3}\) に、\(s(1)^2s(2)f\) を \(f_{\omega+2}\) に、\(s(1)s(2)f\) を \(f_{\omega+1}\) に、それぞれ変えることで、急増加関数の計算の展開

\begin{eqnarray*} f_{\omega \times 2}(3) &=& f_{\omega+3}(3) \\ &=& f_{\omega+2}^3(3) \\ &=& f_{\omega+2}^2(f_{\omega+1}^3(3)) \end{eqnarray*}

と完全に一致する。

以下、同様にして

\begin{eqnarray*} s(2)^n f(x) & \approx & A(n,0,x) \approx f_{\omega \times n}(x) \\ s(3)f(x) & = & s(2)^{x}f(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \approx f_{\omega^2}(x) \\ s(3)^2 f(x) & \approx & A(2,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times 2}(x) \\ s(3)^n f(x) & \approx & A(n,0,0,x) \approx f_{\omega^2 \times n}(x) \end{eqnarray*}

このように、s(3)変換はs(2)変換を数え上げることで、S変換を数え上げたバージョン2のSS変換と同じ効果を持つ。ここまでをまとめると、

  • バージョン1,2のS変換 = バージョン3のs(2)変換
  • バージョン2のSS変換 = バージョン3のs(3)変換

となる。さらに計算を続けると、

\begin{eqnarray*} s(4)f(x) & = & s(3)^{x}f(x) \approx A(x,0,0,x) = A(1,0,0,0,x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ s(1)^4 s(2)^3 s(3)^2s(4)f(x) & \approx & A(1,2,3,4,x) \approx f_{\omega^3+\omega^2 \times 2+\omega \times 3 + 4}(x) \\ s(5)f(x) & \approx & f_{\omega^4}(x) \\ s(6)f(x) & \approx & f_{\omega^5}(x) \\ s(n)f(x) & \approx & f_{\omega^{n-1}}(x) \\ s(x)f(x) & \approx & f_{\omega^\omega}(x) \end{eqnarray*}

となる。このように、s(n)f(x)は多変数アッカーマン関数配列表記と同じ多重帰納関数(n重帰納関数)であり、関数 \(f(x)=x+1\) にs(x)変換(s(n)変換のnを変数化した変換)をすることで、多重帰納関数の上限である \(f_{\omega^\omega}(x)\) 程度の関数を作ることができる。

出典[]

  1. フィッシュ (2017) 『巨大数論 2版』

関連項目[]

Aeton: おこじょ数N成長階層
mrna: 段階配列表記降下段階配列表記多変数段階配列表記横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数亜原始ψ関数ハイパー原始ψ関数TSS-ψ関数
クロちゃん: クロちゃん数第一第ニ第三第四
じぇいそん: ふにゃふにゃぜぇたかんすう\(\zeta\)関数
たろう: 多変数アッカーマン関数2重リストアッカーマン関数多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数第一形態第二形態第四形態改三)・N原始東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数大数列数ペア数列数バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー恋符マスタースパーク数みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-HsL-階差数列類E3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列肉ヒドラ数列弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記四関数三関数巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7)・ マシモ関数マシモスケールTR関数I0関数
ゆきと: 亜原始数列ハイパー原始数列Y数列
本: 巨大数論寿司虚空編
大会: 東方巨大数幻想巨大数即席巨大数式神巨大数お料理巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド名もなき巨大数研究
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト

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