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Q階乗とは、階乗関数のQ類似体である。.[1]\([n]_q!\) や \(\mathrm{faq}(n,q)\) と書き、次のように定義される:

\[[n]_q! = \prod^{n - 1}_{i = 0} \left(\textstyle\sum^{i}_{j = 0} q^j\right) = q^0 \cdot \left(q^0 + q^1\right) \cdot \left(q^0 + q^1 + q^2\right) \cdot \ldots \cdot \left(q^0 + q^1 + \ldots + q^{n - 1}\right)\]

他の全てのQ類似体と同様に、\(q = 1\)は普通の階乗である。

Q階乗と同様に、Qべき乗も定義できる:

\[e^x_q = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{[i]_q!} = \frac{1}{[0]_q!} + \frac{x}{[1]_q!} + \frac{x^2}{[2]_q!} + \frac{x^3}{[3]_q!} + \cdots\]

Q三角関数は\(\sin_q x = \frac{e^{ix}_q - e^{-ix}_q}{2i}\)、 \(\cos_q x = \frac{e^x_q + e^{-x}_q}{2}\)、…となる。

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n/q 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 2 3 4 5
3 6 21 52 105
4 24 315 2080 8925
5 120 9765 251680 3043425

出典 編集

  1. [1]
 

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