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m(n)変換
基本関数 \(f^x(x)\)
急増加関数 \(f_{\varepsilon_0}(n)\)

m(n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン5で定義された写像から写像への写像である[1]。増加速度は急増加関数で \(f_{\varepsilon_0}(n)\) であり、ヒドラ関数BEAFのテトレーション配列と同じ程度である。

定義と増加速度

\(m(1)\) は自然数から自然数への関数で、 \(m(2)\) は関数から関数への写像で、以下のように定義される。

\begin{eqnarray*} m(1)(x) & = & x^x \\ m(2)f(x) & = & f^x(x) \end{eqnarray*}

したがって、 \(m(2)\) は s(n)変換 の\(s(1)\)と一致する。

\(m(3)\)変換は「関数から関数への写像」から「関数から関数への写像」への写像で、以下のように定義される。

\begin{eqnarray*} ((m(3)m(2))f)(x) & = & (m(2)^xf)(x) \\ & = & (s(1)^xf)(x) \\ & = & (s(2)f)(x) \end{eqnarray*}

したがって、\(m(3) m(2)\)は\(s(2)\) と一致し、 \(m(3)^2 m(2)\) は次のように \(s(3)\) と一致する。 \begin{eqnarray*} ((m(3)^2m(2))f)(x) & = & ((m(3)(m(3)m(2)))f)(x) \\ & = & ((m(3)m(2))^xf)(x) \\ & = & (s(2)^xf)(x) \\ & = & (s(3)f)(x) \end{eqnarray*}

同様に計算を続けることができ、急増加関数との対応は以下のようになる。

\begin{eqnarray*} m(3)^3 m(2) m(1)(x) & = & s(4)f(x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ m(3)^4 m(2) m(1)(x) & = & s(5)f(x) \approx f_{\omega^4}(x) \\ m(3)^n m(2) m(1)(x) & = & s(n+1)f(x) \approx f_{\omega^n}(x) \\ m(3)^x m(2) m(1)(x) & = & s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x) \\ \end{eqnarray*}

ここで、 \(f(x) = m(1)(x) = x^x\) である。一般の \(m(n)\)は、次のように定義する。

  • \(M_0\) = 自然数の集合
  • \(M_{n+1}\) = 写像 \(M_n \rightarrow M_n\) 全体の集合
  • \(M_n\) の元を \(M_n\) 変換と呼ぶ

\(M_n\)変換 \(m(n) (n \ge 1)\) を以下のように定める。

\(f_n \in M(n)\) に対して、 \(m(n+1)(f_n) = g_n\) を以下で定める。
\(f_{n-1} \in M(n-1)\) に対して、 \(g_n(f_{n-1}) = g_{n-1}\) を以下で定める。
\(f_{n-2} \in M(n-2)\) に対して、 \(g_{n-1}(f_{n-2}) = g_{n-2}\) を以下で定める。
……
\(f_0 \in M(0)\) に対して、 \(g_1(f_0) = g_0\) を以下で定める。
\(g_0 = (..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0\)

すなわち \begin{eqnarray*} m(1)(f_0) & = & {f_0}^{f_0} \\ (m(2)f_1)f_0 & = & ({f_1}^{f_0})(f_0) \\ (..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0 & := & (..({f_n}^{f_0}{f_{n-1}})...f_1)f_0 \end{eqnarray*}

このように定義すると、以下の様に計算がされる。

\begin{eqnarray*} m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & m(3)^x m(2) m(1)(x) \approx f_{\omega^\omega}(x) \\ m(3) [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & = & [m(3)^{x} m(2)]^x m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega+1}}(x) \\ m(3)^2 [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+2}}(x) \\ m(3)^a [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+a}}(x) \\ [ m(4) m(3) ] ^2 m(2) m(1)(x) & = & [ m(3)^x ] [ m(3)^x m(2)] m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega \times 2} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^3 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega \times 3} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^a m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega \times a} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2} } (x) \\ m(3) \bigl[ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+1} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^2 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 2} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^3 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 3} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] ^2 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2 \times 2} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] ^3 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2 \times 3} } (x) \\ m(4)^3 m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^3} } (x) \\ m(4)^4 m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^4} } (x) \\ m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^\omega} } \end{eqnarray*}

ここまでで、 \begin{eqnarray*} m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega}(x) \\ m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega^\omega}(x) \\ m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega^{\omega^\omega}}(x) \end{eqnarray*} となることが示された。同様に計算をすれば、 \begin{eqnarray*} m(6) m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{{\wedge}{\wedge}}4}(x) \\ m(7) m(6) m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{{\wedge}{\wedge}}5}(x) \\ & … & \\ ((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x) & \approx & f_{\varepsilon_0}(x-2) \end{eqnarray*}

となる。

計算例

\begin{eqnarray*} m(3)m(2)m(1)(2) &=& m(2)^2m(1)(2) \\ &=& m(2)[m(2)m(1)](2) \\ &=& [m(2)m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)m(1)][m(2)m(1)](2) \\ &=& [m(2)m(1)]m(1)^2(2) \\ &=& [m(2)m(1)]m(1)(4) \\ &=& [m(2)m(1)](256) \\ &=& m(1)^{256}(256) \\ &>& 10\uparrow\uparrow 257 \\ \end{eqnarray*}

多角形表記では以下のようになる。

  • \(m(1)(n)=n[3]\) (三角形の中のn)
  • \(m(2)m(1)(n)=n[4]\)(四角形の中のn)
  • \(m(2)^{p-3}m(1)(n)=n[p]\)(p角形の中のn)
  • \(m(3)m(2)m(1)(n)=n[n+3]\)(\(n+3\)角形の中のn)
  • \(m(3)m(2)m(1)(2)=2[5]=\)メガ(五角形の中の2)

\begin{eqnarray*} m(3)m(2)m(1)(3) &=& m(2)^3m(1)(2) \\ &=& m(2)[m(2)^2m(1)](2) \\ &=& [m(2)^2m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)^2m(1)](2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)]m(1)^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)](256) \\ &=& [m(2)^2m(1)]m(1)^{256}(256) \\ &>& [m(2)^2m(1)](10 \uparrow\uparrow 257) \\ &=& [m(2)m(1)]^{(10 \uparrow\uparrow 257)}(10 \uparrow\uparrow 257) \\ &\approx& 10 \uparrow^3 257 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m(2)m(1)(x)&=&m(1)^x(x) \approx x \uparrow \uparrow x \\ m(2)^2m(1)(x)&=&[m(2)m(1)]^x(x) \approx (x \uparrow^3 x) \\ m(2)^3m(1)(x)&=&[m(2)^2m(1)]^x(x) \approx (x \uparrow^4 x) \\ m(2)^nm(1)(x)&\approx& \{x,x,n+1\} \\ m(3)m(2)m(1)(x) &=& m(2)^xm(1)(x) \approx \{x,x,x\} \approx A(1,0,x) \\ \end{eqnarray*}

多変数アッカーマン関数で近似。

\begin{eqnarray*} m(4)m(3)m(2)m(1)(2) &=& m(3)^2m(2)m(1)(2) \\ &=& [m(3)m(2)]^2m(1)(2) \\ &=& [m(3)m(2)][m(3)m(2)]m(1)(2) \\ &=& [m(3)m(2)][m(3)m(2)m(1)](2) \\ &=& m(2)^2[m(3)m(2)m(1)](2) \\ &\approx& m(2)^2[A(1,0,x)](2) \\ &\approx& m(2)[A(1,1,x)](2) \\ &\approx& [A(1,2,x)](2) \\ &\approx& A(1,2,2) \\ \end{eqnarray*}

ここで

\[[m(3)m(2)][m(3)m(2)]m(1)(2) = [m(3)m(2)][m(3)m(2)m(1)](2)\]

のところは、[m(3)m(2)]のまとまりをm'(2)と書くと

\[m'(2)m'(2)m(1)(2) = m'(2)[m'(2)m(1)](2)\]

と計算している。すなわち、先頭のm'(2)は、M(2)の元であるm'(2)には作用できないので、M(1) の元である [m'(2)m(1)] に対して作用する。

このように、常に

[M(n)の元] [M(n-1)の元] ... [M(2)の元] [M(1)の元](n)

のように、1つずつ写像の「次元(m(n)のn)」を下げるような式の形で式全体を認識して、一番左の M(n) の元がその次の M(n-1) の元に作用する。

\(m(2)^2[m(3)m(2)m(1)](2)\) の計算については、[m(3)m(2)m(1)] という関数に対して m(2) を2回作用させるのであるから、m(3)m(2)m(1) 関数についてはすでに求められている近似を使った。

\begin{eqnarray*} m(2)m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,x)]^x \approx A(1,1,x) \\ m(2)^2m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,1,x)]^x \approx A(1,2,x) \\ [m(3)m(2)]^2m(1)(x) &=& m(2)^x[m(3)m(2)]m(1)(x) \approx A(1,x,x)(x) = A(2,0,x) \\ m(3)^2m(2)m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^xm(1)(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \\ m(2)m(3)^2m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,0,x)]^x \approx A(1,0,1,x) \\ m(3)m(2)[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& m(2)^x[A(1,0,0,x)] \approx A(1,1,0,x) \\ m(2)[m(3)m(2)][m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& [A(1,1,0,x)]^x \approx A(1,1,1,x) \\ [m(3)m(2)]^2[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,2,0,x) \\ [m(3)m(2)]^3[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,3,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^2m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^x[m(3)^2m(2)]m(1)(x) \approx A(2,0,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^3m(1)(x) &\approx& A(3,0,0,x) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(3) &=& m(3)^3m(2)m(1)(3) = [m(3)^2m(2)]^3m(1)(3) \approx A(3,0,0,3) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(4) &=& m(3)^4m(2)m(1)(3) = [m(3)^3m(2)]^4m(1)(4) \approx A(4,0,0,0,4) \\ \end{eqnarray*} \(m(4)m(3)m(2)m(1)(5) = A(5,0,0,0,0,5) \approx \) Quintigol

F5(x) \(= ((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)\) として

\(F_5(3) \approx 10 \uparrow^3 257 \)

\(F_5(4) \approx A(4,0,0,0,4) \approx f_{\omega^4}(4) \approx \{4,4,4,4,4,4\} \approx \) クワドリーゴル

\(F_5(5) \approx f_{\omega^{\omega^5}}(5) \approx \{5,5(5)2\} = 5^5\ \&\ 5\ \approx \) ペトソル

\(F_5(6) \approx f_{\omega^{\omega^{\omega^6}}}(6) = f_{\varepsilon_0}(4) \approx \) E6#^#^######6 \( \approx \) ヘクセルガサー

\(F_5(102) \approx f_{\varepsilon_0}(100) \approx 102 \uparrow\uparrow 100 \&\ 102 \approx \) ゴッパトス

\(F_5(x) \approx f_{\varepsilon_0}(x-2) \approx x \uparrow\uparrow (x-2) \&\ x \)

ヒドラゲーム

\(m(n)\)変換の構造は、ヒドラゲームと対応する順序数の関係に対応する[2]。たとえば、 \[[ m(4) m(3) ] ^3 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 3} } (x)\]

という式において、 \([m(4) m(3)]^3\) は \(\omega \times 3\) に相当し、 \(m(4)^2\) は2に、 \(m(4)^2 m(3)\) は \(\omega^2\) にそれぞれ相当する。

Hydra1

Kirby and Paris (1982)[3]によるこの図では、左上のノードがルートから上に3個上がったところなので \(m(3)\) に相当する。その1つ下のセグメントは \(m(2)\) で、そこには上に 3 個の \(m(3)\) があるため、 \(m(3)^3 m(2)\) である。その1つ下のノードは \(m(3)^3 m(2)\) と \(m(4)m(3)m(2)\) が上についている \(m(1)\) ノードなので、 \([m(3)^3 m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)\) である。ルートノードは \([m(2)[m(3)^2 m(2)]m(1)]\;[[m(3)^3 m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)]\;(x)\) となる。

\(m(n)\) 変換は、このようにヒドラツリーと関連づけられ、ヒドラツリーは引用文献の「巨大数論」および Kirby and Paris (1982) に説明されている通り、カントール標準形の順序数と対応づけられる。したがって、その増加速度は \(f_{\varepsilon_0}(x)\) となる。

出典

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. ふぃっしゅ数バージョン5の計算過程のヒドラツリーによる可視化(スライドPDF) 巨大数研究会、東京、2007年11月3日
  3. Kirby, L.; Paris, J. (1982), "Accessible independence results for Peano arithmetic", Bulletin of the London Mathematical Society 14: 285-293.

関連項目

Aeton: おこじょ数N成長階層
mrna: 段階配列表記降下段階配列表記多変数段階配列表記横ネスト段階配列表記
Kanrokoti: くまくまψ関数亜原始ψ関数ハイパー原始ψ関数TSS-ψ関数
クロちゃん: クロちゃん数第一第ニ第三第四
じぇいそん: ふにゃふにゃぜぇたかんすう\(\zeta\)関数
たろう: 多変数アッカーマン関数2重リストアッカーマン関数多重リストアッカーマン関数
Nayuta Ito: フラン数第一形態第二形態第四形態改三)・N原始東方巨大数4の規則の境界を突いた巨大数
バシク: 原始数列数大数列数ペア数列数バシク行列システム
長谷川由紀路: 紅魔館のメイドナンバー恋符マスタースパーク数みくみく順序数
108Hassium: E2:B-01-HsL-階差数列類E3:B-02-Hs
公太郎: 弱亜ペア数列肉ヒドラ数列弱ハイパーペア数列
p進大好きbot: 超限急増加関数表記拡張ブーフホルツのψ関数に伴う順序数表記四関数三関数巨大数庭園数
ふぃっしゅ: ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2バージョン3バージョン4バージョン5バージョン6バージョン7)・ マシモ関数マシモスケールTR関数I0関数
ゆきと: 亜原始数列ハイパー原始数列Y数列
本: 巨大数論寿司虚空編
大会: 東方巨大数幻想巨大数即席巨大数式神巨大数お料理巨大数
掲示板: 巨大数探索スレッド名もなき巨大数研究
外部リンク: 日本語の巨大数関連サイト

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