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m(n)変換
基本関数 \(f^x(x)\)
急増加関数 \(f_{\varepsilon_0}(n)\)

m(n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン5で定義された写像から写像への写像である[1]。増加速度は急増加関数で \(f_{\varepsilon_0}(n)\) であり、ヒドラ関数BEAFのテトレーション配列と同じ程度である。

定義と増加速度 編集

\(m(1)\) は自然数から自然数への関数で、 \(m(2)\) は関数から関数への写像で、以下のように定義される。

\begin{eqnarray*} m(1)(x) & = & x^x \\ m(2)f(x) & = & f^x(x) \end{eqnarray*}

したがって、 \(m(2)\) は s(n)変換 の\(s(1)\)と一致する。

\(m(3)\)変換は「関数から関数への写像」から「関数から関数への写像」への写像で、以下のように定義される。

\begin{eqnarray*} ((m(3)m(2))f)(x) & = & (m(2)^xf)(x) \\ & = & (s(1)^xf)(x) \\ & = & (s(2)f)(x) \end{eqnarray*}

したがって、\(m(3) m(2)\)は\(s(2)\) と一致し、 \(m(3)^2 m(2)\) は次のように \(s(3)\) と一致する。 \begin{eqnarray*} ((m(3)^2m(2))f)(x) & = & ((m(3)(m(3)m(2)))f)(x) \\ & = & ((m(3)m(2))^xf)(x) \\ & = & (s(2)^xf)(x) \\ & = & (s(3)f)(x) \end{eqnarray*}

同様に計算を続けることができ、急増加関数との対応は以下のようになる。

\begin{eqnarray*} m(3)^3 m(2) m(1)(x) & = & s(4)f(x) \approx f_{\omega^3}(x) \\ m(3)^4 m(2) m(1)(x) & = & s(5)f(x) \approx f_{\omega^4}(x) \\ m(3)^n m(2) m(1)(x) & = & s(n+1)f(x) \approx f_{\omega^n}(x) \\ m(3)^x m(2) m(1)(x) & = & s(x)f(x) \approx f_{\omega^\omega}(x) \\ \end{eqnarray*}

ここで、 \(f(x) = m(1)(x) = x^x\) である。一般の \(m(n)\)は、次のように定義する。

  • \(M_0\) = 自然数の集合
  • \(M_{n+1}\) = 写像 \(M_n \rightarrow M_n\) 全体の集合
  • \(M_n\) の元を \(M_n\) 変換と呼ぶ

\(M_n\)変換 \(m(n) (n \ge 1)\) を以下のように定める。

\(f_n \in M(n)\) に対して、 \(m(n+1)(f_n) = g_n\) を以下で定める。
\(f_{n-1} \in M(n-1)\) に対して、 \(g_n(f_{n-1}) = g_{n-1}\) を以下で定める。
\(f_{n-2} \in M(n-2)\) に対して、 \(g_{n-1}(f_{n-2}) = g_{n-2}\) を以下で定める。
……
\(f_0 \in M(0)\) に対して、 \(g_1(f_0) = g_0\) を以下で定める。
\(g_0 = (..((f_n^{f_0}f_{n-1})f_{n-2})...f_1)f_0\)

すなわち \begin{eqnarray*} m(1)(f_0) & = & {f_0}^{f_0} \\ (m(2)f_1)f_0 & = & ({f_1}^{f_0})(f_0) \\ (..((m(n+1)f_n)f_{n-1})...f_1)f_0 & := & (..({f_n}^{f_0}{f_{n-1}})...f_1)f_0 \end{eqnarray*}

このように定義すると、以下の様に計算がされる。

\begin{eqnarray*} m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & m(3)^x m(2) m(1)(x) \approx f_{\omega^\omega}(x) \\ m(3) [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & = & [m(3)^{x} m(2)]^x m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega+1}}(x) \\ m(3)^2 [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+2}}(x) \\ m(3)^a [m(4) m(3)] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega+a}}(x) \\ [ m(4) m(3) ] ^2 m(2) m(1)(x) & = & [ m(3)^x ] [ m(3)^x m(2)] m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega \times 2} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^3 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega \times 3} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^a m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega \times a} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2} } (x) \\ m(3) \bigl[ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+1} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^2 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 2} } (x) \\ [ m(4) m(3) ] ^3 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 3} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] ^2 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2 \times 2} } (x) \\ [ m(4)^2 m(3) ] ^3 m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^2 \times 3} } (x) \\ m(4)^3 m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^3} } (x) \\ m(4)^4 m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^4} } (x) \\ m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{\omega^\omega} } \end{eqnarray*}

ここまでで、 \begin{eqnarray*} m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega}(x) \\ m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega^\omega}(x) \\ m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & = & f_{\omega^{\omega^\omega}}(x) \end{eqnarray*} となることが示された。同様に計算をすれば、 \begin{eqnarray*} m(6) m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{{\wedge}{\wedge}}4}(x) \\ m(7) m(6) m(5) m(4) m(3) m(2) m(1)(x) & \approx & f_{\omega^{{\wedge}{\wedge}}5}(x) \\ & … & \\ ((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x) & \approx & f_{\varepsilon_0}(x-2) \end{eqnarray*}

となる。

計算例 編集

\begin{eqnarray*} m(3)m(2)m(1)(2) &=& m(2)^2m(1)(2) \\ &=& m(2)[m(2)m(1)](2) \\ &=& [m(2)m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)m(1)][m(2)m(1)](2) \\ &=& [m(2)m(1)]m(1)^2(2) \\ &=& [m(2)m(1)]m(1)(4) \\ &=& [m(2)m(1)](256) \\ &=& m(1)^{256}(256) \\ &>& 10\uparrow\uparrow 257 \\ \end{eqnarray*}

多角形表記では以下のようになる。

  • \(m(1)(n)=n[3]\) (三角形の中のn)
  • \(m(2)m(1)(n)=n[4]\)(四角形の中のn)
  • \(m(2)^{p-3}m(1)(n)=n[p]\)(p角形の中のn)
  • \(m(3)m(2)m(1)(n)=n[n+3]\)(\(n+3\)角形の中のn)
  • \(m(3)m(2)m(1)(2)=2[5]=\)メガ(五角形の中の2)

\begin{eqnarray*} m(3)m(2)m(1)(3) &=& m(2)^3m(1)(2) \\ &=& m(2)[m(2)^2m(1)](2) \\ &=& [m(2)^2m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)^2m(1)](2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)]^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)]m(1)^2(2) \\ &=& [m(2)^2m(1)][m(2)m(1)](256) \\ &=& [m(2)^2m(1)]m(1)^{256}(256) \\ &>& [m(2)^2m(1)](10 \uparrow\uparrow 257) \\ &=& [m(2)m(1)]^{(10 \uparrow\uparrow 257)}(10 \uparrow\uparrow 257) \\ &\approx& 10 \uparrow^3 257 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m(2)m(1)(x)&=&m(1)^x(x) \approx x \uparrow \uparrow x \\ m(2)^2m(1)(x)&=&[m(2)m(1)]^x(x) \approx (x \uparrow^3 x) \\ m(2)^3m(1)(x)&=&[m(2)^2m(1)]^x(x) \approx (x \uparrow^4 x) \\ m(2)^nm(1)(x)&\approx& \{x,x,n+1\} \\ m(3)m(2)m(1)(x) &=& m(2)^xm(1)(x) \approx \{x,x,x\} \approx A(1,0,x) \\ \end{eqnarray*}

多変数アッカーマン関数で近似。

\begin{eqnarray*} m(4)m(3)m(2)m(1)(2) &=& m(3)^2m(2)m(1)(2) \\ &=& [m(3)m(2)]^2m(1)(2) \\ &=& m(2)^2[m(3)m(2)m(1)](2) \\ &\approx& m(2)^2[A(1,0,x)](2) \\ &\approx& m(2)[A(1,1,x)](2) \\ &\approx& [A(1,2,x)](2) \\ &\approx& A(1,2,2) \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m(2)m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,x)]^x \approx A(1,1,x) \\ m(2)^2m(3)m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,1,x)]^x \approx A(1,2,x) \\ [m(3)m(2)]^2m(1)(x) &=& m(2)^x[m(3)m(2)]m(1)(x) \approx A(1,x,x)(x) = A(2,0,x) \\ m(3)^2m(2)m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^xm(1)(x) \approx A(x,0,x) = A(1,0,0,x) \\ m(2)m(3)^2m(2)m(1)(x) &\approx& [A(1,0,0,x)]^x \approx A(1,0,1,x) \\ m(3)m(2)[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& m(2)^x[A(1,0,0,x)] \approx A(1,1,0,x) \\ m(2)[m(3)m(2)][m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& [A(1,1,0,x)]^x \approx A(1,1,1,x) \\ [m(3)m(2)]^2[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,2,0,x) \\ [m(3)m(2)]^3[m(3)^2m(2)]m(1)(x) &\approx& A(1,3,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^2m(1)(x) &=& [m(3)m(2)]^x[m(3)^2m(2)]m(1)(x) \approx A(2,0,0,x) \\ [m(3)^2m(2)]^3m(1)(x) &\approx& A(3,0,0,x) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(3) &=& m(3)^3m(2)m(1)(3) = [m(3)^2m(2)]^3m(1)(3) \approx A(3,0,0,3) \\ m(4)m(3)m(2)m(1)(4) &=& m(3)^4m(2)m(1)(3) = [m(3)^3m(2)]^4m(1)(4) \approx A(4,0,0,0,4) \\ \end{eqnarray*} \(m(4)m(3)m(2)m(1)(5) = A(5,0,0,0,0,5) \approx \) Quintigol

F5(x) \(= ((..((m(x)m(x-1))m(x-2))...m(2))m(1))(x)\) として

\(F_5(3) \approx 10 \uparrow^3 257 \)

\(F_5(4) \approx A(4,0,0,0,4) \approx f_{\omega^4}(4) \approx \{4,4,4,4,4,4\} \approx \) クワドリーゴル

\(F_5(5) \approx f_{\omega^{\omega^5}}(5) \approx \{5,5(5)2\} = 5^5\ \&\ 5\ \approx \) ペトソル

\(F_5(6) \approx f_{\omega^{\omega^{\omega^6}}}(6) = f_{\varepsilon_0}(4) \approx \) E6#^#^######6 \( \approx \) ヘクセルガサー

\(F_5(102) \approx f_{\varepsilon_0}(100) \approx 102 \uparrow\uparrow 100 \&\ 102 \approx \) ゴッパトス

\(F_5(x) \approx f_{\varepsilon_0}(x-2) \approx x \uparrow\uparrow (x-2) \&\ x \)

ヒドラゲーム 編集

\(m(n)\)変換の構造は、ヒドラゲームと対応する順序数の関係に対応する[2]。たとえば、 \[[ m(4) m(3) ] ^3 [ m(4)^2 m(3) ] m(2) m(1)(x) \approx f_{\omega^{\omega^2+\omega \times 3} } (x)\]

という式において、 \([m(4) m(3)]^3\) は \(\omega \times 3\) に相当し、 \(m(4)^2\) は2に、 \(m(4)^2 m(3)\) は \(\omega^2\) にそれぞれ相当する。

Hydra1

Kirby and Paris (1982)[3]によるこの図では、左上のノードがルートから上に3個上がったところなので \(m(3)\) に相当する。その1つ下のセグメントは \(m(2)\) で、そこには上に 3 個の \(m(3)\) があるため、 \(m(3)^3 m(2)\) である。その1つ下のノードは \(m(3)^3 m(2)\) と \(m(4)m(3)m(2)\) が上についている \(m(1)\) ノードなので、 \([m(3)^3 m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)\) である。ルートノードは \([m(2)[m(3)^2 m(2)]m(1)]\;[[m(3)^3 m(2)][m(4)m(3)m(2)]m(1)]\;(x)\) となる。

\(m(n)\) 変換は、このようにヒドラツリーと関連づけられ、ヒドラツリーは引用文献の「巨大数論」および Kirby and Paris (1982) に説明されている通り、カントール標準形の順序数と対応づけられる。したがって、その増加速度は \(f_{\varepsilon_0}(x)\) となる。

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』
  2. ふぃっしゅ数バージョン5の計算過程のヒドラツリーによる可視化(スライドPDF) 巨大数研究会、東京、2007年11月3日
  3. Kirby, L.; Paris, J. (1982), "Accessible independence results for Peano arithmetic", Bulletin of the London Mathematical Society 14: 285-293.

関連項目 編集

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