Fandom

巨大数研究 Wiki

m(m,n)変換

549このwikiの
ページ数
新しいページをつくる
コメント27 シェアする

m(m,n)変換
基本関数 \(f^x(x)\)
急増加関数 \(f_{\zeta_0}(n)\)

m(m,n)変換は、ふぃっしゅ数バージョン6で定義されたm(n)変換を2変数に拡張した写像である[1]。増加速度は急増加関数で \(f_{\zeta_0}(n)\) 程度である。

集合\(M[m,n]\) (\(m=0,1,\ldots; n=1,2,\ldots \) ) を以下のように定める。

  • \(M[0,1]\) = 自然数から自然数への関数全体の集合
  • \(M[m+1,1] = M[m,n] \ (n=1,2,...)\) の元1個ずつを要素に持つ集合
    • すなわち \(M[m+1,1] = M[m,1] \times M[m,2] \times M[m,3] \times ...\)
    • \(M[m,1]\)の元は、その要素の要素の…要素である \(M[0,1]\) の元と同じ関数の働きを持つ。
  • \(M[m,n+1]\) = 写像 \(M[m,n] \rightarrow M[m,n]\) 全体の集合 \((n=1,2,...)\)

\(M[m,n]\) の元 \(m(m,n)\) を以下のように定める。ただし、\(a_i\), \(b_i\), \(f_i\) は \(M(m,i)\)の元とし、厳密な定義の構造はm(n)変換と同じである。

\begin{eqnarray*} m(0,1) (x) & := & x+1 \\ m(m,n+1) f_n f_{n-1} ...f_1 (x) & := & {f_n}^x f_{n-1}... f_1 (x) \\ & & (m=0; n=1,2,... \text{ or } m=1,2,...; n=2,3,…) \\ m(m+1,1) & := & [m(m,1),m(m,2),m(m,3),…] \\ m(m+1,2)[a_1,a_2,...] & := & [b_1,b_2,…] \text{ の \(b_n\) を以下で定める。} \\ b_n f_{n-1}...f_1(x) & := & a_y a_{y-1}...a_n f_{n-1}…f_1(x) \ (y=\max(x,n)) \end{eqnarray*}

以下のように計算される。 \begin{eqnarray*} m(1,1)(x) & = & [m(0,1),m(0,2),m(0,3),…](x) \\ & = & m(0,1)(x) = x+1 \\ \end{eqnarray*} \(m(1,2) m(1,1) = [a_1,a_2,a_3,…]\) とすると \begin{eqnarray*} a_1(x) & = & m(0,x) m(0,x-1) … m(0,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0}(x) \\ \therefore m(1,2) m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_0}(x) \\ m(0,2) a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + 1}(x) \\ m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega}(x) \\ m(0,4) m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega^{\omega}}(x) \\ m(0,5) m(0,4) m(0,3) m(0,2) a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 + \omega^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_2 a_1(x) & = & m(0,y) m(0,y-1) …m(0,2) a_1(x) \ (y=\max(x,2)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 \times 2}(x) \\ \end{eqnarray*} となる。そして、 \begin{eqnarray*} m(0,3) a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega}(x) \\ m(0,4) m(0,3) a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega^{\omega}}(x) \\ m(0,5) m(0,4) m(0,3) a_2 a_1 (x) &\approx & f_{\varepsilon_0 \times \omega^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_3 a_2 a_1(x) & = & m(0,y) m(0,y-1) ... m(0,3) a_2 a_1 (x) \ (y=\max(x,3)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 ^2}(x) \end{eqnarray*} 次に、\(a_4\)については、 \begin{eqnarray*} m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^\omega}(x) \\ m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega \times 2}}(x) \\ m(0,6) m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega ^ 2}}(x) \\ m(0,7) m(0,6) m(0,5) m(0,4) a_3 a_2 a_1 (x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\omega^{\omega}}}(x) \\ a_4 a_3 a_2 a_1(x) & = & m(0,y) m(0,y-1)...m(0,4) a_3 a_2 a_1(x) \ (y=\max(x,4)) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0}}(x) \end{eqnarray*} と計算され、以下同様に \begin{eqnarray*} a_5 a_4 a_3 a_2 a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}(x) \\ a_6 a_5 a_4 a_3 a_2 a_1(x) & \approx & f_{\varepsilon_0 ^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}}(x) \\ \end{eqnarray*} と計算され、 \begin{eqnarray*} m(1,2)^2 m(1,1) (x) &=& m(1,2)[a_1,a_2,...](x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_0^{{\wedge}{\wedge}}\omega}(x) \\ &=& f_{\varepsilon_1}(x) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} m(1,2)^3 m(1,1)(x) = [b_1,b_2,b_3,...](x) \end{eqnarray*} とすると、\(b_i\) は上記 \(a_i\) の \(\varepsilon_0\) を \(\varepsilon_1\) に変えた式となる。したがって、 \begin{eqnarray*} m(1,2)^3 m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_2}(x) \\ m(1,2)^4 m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_3}(x) \\ m(1,2)^n m(1,1)(x) & \approx & f_{\varepsilon_{n-1}}(x) \\ \end{eqnarray*} 以下は、\(m(n)\)変換の計算と同様の構造で、 \begin{eqnarray*} m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_\omega} \\ m(1,4) m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\omega^\omega}} \\ m(1,5) m(1,4) m(1,3) m(1,2) m(1,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\omega^{\omega^\omega}}} \\ m(2,2) m(2,1) (x) &=& m(1,x) m(1,x-1) ... m(1,2) m(1,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} \\ \end{eqnarray*} となる。そして、 \begin{eqnarray*} m(2,2)^2 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_1}}(x) \\ m(2,2)^3 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_2}}(x) \\ m(2,2)^4 m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_3}}(x) \\ m(2,3) m(2,2) m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_\omega}}(x) \\ m(3,2) m(3,1) (x) &=& m(2,x) m(2,x-1) ... m(2,2) m(2,1) (x) \\ & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}(x) \end{eqnarray*} となる。すなわち、 \begin{eqnarray*} m(1,2) m(1,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_0} (x) \\ m(2,2) m(2,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_0}} (x) \\ m(3,2) m(3,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}} (x) \\ m(4,2) m(4,1) (x) & \approx & f_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}} (x) \\ \end{eqnarray*} と計算が続き、

\[m(x,2)m(x,1)(x) \approx f_{\zeta_0}(x)\]

となる。ここで、\(\zeta_0\) はヴェブレン階層で \(\phi(2,0)\) である。

出典 編集

  1. ふぃっしゅっしゅ (2013) 『巨大数論』

関連項目 編集

広告ブロッカーが検出されました。


広告収入で運営されている無料サイトWikiaでは、このたび広告ブロッカーをご利用の方向けの変更が加わりました。

広告ブロッカーが改変されている場合、Wikiaにアクセスしていただくことができなくなっています。カスタム広告ブロッカーを解除してご利用ください。

Fandomでも見てみる

おまかせWiki