Joyceの超一般化指数表記はアッカーマンの一般化指数表記の拡張である。[1]拡張元の定義に加えて、以下の定義を行う。
- \(g(a,b,c,d) = g(a - 1,b,c,g(a,b,c))\)
- \(g(a, 1, b, c, d) = g(a - 1, 1, b, g(b, c, d), d)\)
- \(g(a, b, c, d, e) = g(a - 1, b, c, g(c, d, e), e)\)
- \(g(a, b, c, d, e, f) = g(a - 1, b, c, g(d, e, f), e, f)\)
- \(g(a, 1, 1, b, c, d) = g(a - 1, 1, 1, g(b, c, d), c, d)\)
- \(g((a, b), c, d) = g((a - 1, b - 1), g((a, b), c - 1, d) , d) = g(a -1, g(b -1, g(b, c - 1, d) - 1, d)\)
この表記法は明確でなく不完全であることが示されている。[2] この表記法は6変数以上の定義がなく、最初の声明に従えば6変数の場合関数は\(f_{\omega+1}(n)\)の成長階層を持ちうる。しかし、関数が定義できない場合があるため、今のままでは関数にならない。例えば、 \(g(1,2,2,2) = g(0,2,2,g(0,2,2))\)であるが、この記法において0に対する定義が存在しない。