BOX M̃

BOX_M̃ (BOX_M~とも)は、Marco Ripà による巨大数である。彼はこれが命名された中で最大の数であると主張したが、現在のトップは2007年からラヨ数である。(現在はリトルビッゲドン、2013年から)

• \(n\$ = {}^{n!}(n!)\) (Pickoverの 超階乗)
• \(n\widetilde{¥} = ({}^{n\$}(n\$)) \uparrow \cdots \uparrow ({}^{2\$}(2\$)) \uparrow ({}^{1\$}(1\$))\)　矢印表記を使う。
• \(n£ = ({}^{n\widetilde{¥}}(n\widetilde{¥})) \uparrow \cdots \uparrow ({}^{2\widetilde{¥}}(2\widetilde{¥})) \uparrow ({}^{1\widetilde{¥}}(1\widetilde{¥}))\)
• \(A_1 = n£\), \(A_{k + 1} = {}^{(A_k)}(A_k)\)
• \(M_1(a) = a \uparrow^{a} a\), \(M_{k + 1}(a) = a \uparrow^{M_k(a)} a\) (BEAFでは、 \(M_k(a) = a \{\{1\}\} (k + 1)\))
• \(k_1 = M_{n£}(A_{n£})!\), \(k_{i + 1} = n \uparrow^{k_i} n\)
• \(n = G£\)とあうる。
• \(\widetilde{R} = k_{k_{._{._{._{G£}}}}}\), \(G\)はグラハム数、 \(G£\)個の\(k\)がある。
• \(\widetilde{M}_1 = (G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£) \rightarrow (G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£) \rightarrow \cdots \rightarrow (G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£) \rightarrow (G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£)\) \(G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£\) チェーン表記を用いて\(G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£\)個の矢印。
• \(\widetilde{M}_{k + 1} = \widetilde{M}_k \rightarrow \widetilde{M}_k \rightarrow \cdots \rightarrow \widetilde{M}_k \rightarrow \widetilde{M}_k\)\(\widetilde{M}_k\)個の矢印。
• \(BOX\_\widetilde{M} = \widetilde{M}_{\widetilde{M}_1 + 1}\)

Peter Hurfordの拡張チェーン表記では、\ (\widetilde{M}\)の列は\(\widetilde{M}_0 = G£ \uparrow^{\widetilde{R}} G£\)、 \(\widetilde{M}_{k + 1} = \widetilde{M}_k \rightarrow_2 \widetilde{M}_k\)として定義される。

大きさ

関数\(g(n) = n \rightarrow_2 n = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n \rightarrow n}_{n + 1 \text{ 個の } n}\)はConway と Guy の\(\text{cg}(n)\)、または急増加関数で\(f_{\omega^2}(n)\)ほど。よって、\(G£\), \(\widetilde{M}_i\)は \(f_{\omega^2 + 1}(i)\)ほど。