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階層内階層基数 (rank-into-rank cardinal) とはこれらの公理の一つを満たす非加算基数\(\rho\)である:

  • I3. 次のような非自明初等的埋め込み \(j : V_\rho \mapsto V_\rho\)が存在する。
  • I2. 次のような非自明初等的埋め込み \(j : V \mapsto M\), where \(V_\rho \in M\) そして \(\rho\)は \(j\)の臨界点の上の最初の零点が存在する。
  • I1. 次のような非自明初等的埋め込み \(j : V_{\rho + 1} \mapsto V_{\rho + 1}\)が存在する。
  • I0. 次のような非自明初等的埋め込み \(j : L(V_{\rho + 1}) \mapsto L(V_{\rho + 1})\)が存在する。

これらの4つの公理は下に行くにつれ強さを増している。I0はI1を、I1はI2を、I2はI3を、それぞれ示すことができる。I0を満たす基数はI0基数と呼ばれ、あとも同じである。

これらの公理では階層内階層基数はとても強く、ツェルメロ・フランケル集合論との一貫性を疑うまでに強いと言い切れる。もし、ZFCかつ「階層内階層基数が存在する」としたら一貫性が存在してしまう事になるので、階層内階層基数はZFCと互換性のある最大の基数である。

階層内階層に数の存在は遅く成長するLaver Tablesからの関数\(p\)(そしてその擬リバース\(q\))が発散することを示す。この事実はZFCのみで証明されると推測されるが、もしそうでなければ、\(q\)はとても速く成長する事となる。

フォン・ノイマン宇宙 編集

フォン・ノイマン宇宙とはZFCで可能な集合の全てを増加的に定義する適切なクラスである。それは集合ではないが、「すべての集合の集合」と考えてもよいだろう。それは累積階層というもので定義されるが、それは、次のように定義される超限列である:

\(V_0 = \{\}\)
\(V_{\alpha} = \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P}(V_\beta)\) (ここで \(\mathcal{P}(X)\) は \(X\)のべき集合)

全ての基数\(\alpha\)に対して\(V_\alpha\)を作り、次のようにする:

\[V = \bigcup_{\alpha \in \text{On}} V_\alpha\]

これがフォンノイマン宇宙である。

構成可能宇宙 編集

構成可能宇宙を定義するのに、次のような関係を定義する:

\(\text{Def}(X)\) はfirst-order formula with parameters from\(X\)で定義される\(X\)の部分集合全てを含む集合である

first-order formula with parameters from\(X\)とは、\(\Phi(y,z_1,...,z_n)\)(yは自由な種類、\(z_1,...,z_n\in X\))の形の一階の集合論(記号 ∃、 ⊼、 ∈等を含む)である。

集合\(y\)が式を満足するかによって集合は定義される。

構成可能宇宙\(L(A)\)を、与えられたクラス\(A\)に対し、定義する:

  • \(L_0(A) = \) \(A\)を含む最小の推移的クラス
  • \(L_\alpha(A) = \bigcup_{\beta < \alpha} \text{Def}(L_{\beta}(A))\)
  • \(L(A) = \bigcup_{\alpha \in \text{On}} L_{\alpha}(A)\)

初等的埋め込み 編集

構造は関係を伴う集合(または真のクラス)である。構造の特殊なケースとして亜群、群、環、体がある。関係は構造のシグネチャを集合的に形成する。もし\(\sigma\)がシグネチャであれば、first-order \(\sigma\)-sentenceはシグネチャ\(\sigma\)の一階の述語論理である。特に、変数、量化子、論理演算子、関係を用いることが出来る。

今集合論を扱っているので、\(\sigma\)は二項関係\(\in\)と次のような一階の集合論に基づく:

  • 変数
  • ∃、存在記号。変数が領域上を走るものと考えて存在量化する。
  • ⊼、NAND。全ての論理演算子を定義できる最低限の記号。
  • ∈、関係。

(巨大数論者は、あのラヨ数にも使われた一階述語論理がこれであると分かっている。)これらから、領域上の述語を作れる。

初等的埋め込みとは構造NMに対し\(\phi(a_1,...,a_n)\)がNで真である時、かつそのときに限り\(\phi(h(a_1),...,h(a_n))\)もMで真であるような写像h: N → Mである。N → Nに対する恒等写像\(h(x) = x\)も初等的である。もし初等的埋め込みが恒等写像でなければ、それを非自明であると呼ぶ。

もし初等的埋め込みが非自明であるなら、それは臨界点を持つはずである。例えば、空集合から空集合への写像は、臨界点は0である。他の有限の基数と、ほとんど大部分の超限基数もそうである。(正確には、全ての基数に臨界点があるべきで、非自明初等的埋め込みが存在しない)だが、初等的埋め込みは非自明であるため、他の基数に写像としてうつされる基数が存在する。そのような基数で最小のものが臨界点である。

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