階乗はすべての自然数に対して適用される関数で、このように定義される[1][2]。
$$n! = \prod^n_{i = 1} i = n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.$$
例えば \(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\) である。\(n\) 個の異なる物体を並べる方法は、 \(n!\) 通りある。なぜならば、1つ目の物体を置く場所は \(n\) 通りあり、２つ目の物体を置く場所は \(n - 1\) 通りあり、と物体を1つ置く場所が1つずつ減っていき、それらをかけ合わせるためである。定義により、\(0! = 1\) となる。ゼロ個の物体を並べる方法は1通りである。
\(n!\) という記法が考案される前は、 \(n\) という記法が一般的であった。
階乗は、 \(0! = 1\) と \(n! = n \cdot (n - 1)!\) から再帰的に定義できる。\(n!\)の最初のいくつかの値は、\(n = 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\) に対して 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800 である。
性質
階乗の逆数無限和は \(\sum^{\infty}_{i = 0} i! = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = 2.71828182845904\ldots\)で、数学定数\(e\)として知られる。 実際、\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)で、重要な性質\(\frac{d}{dx}e^x = e^x\)を証明するのに使える。
\(n! = \Gamma (n + 1)\) (\(\Gamma (x)\)はガンマ関数)より、 \(n! = \int^{\infty}_0 e^{-t} \cdot t^{n + 1} dt\)である。このことより、すべての正の実数と非整数の負の実数に対し定義できる:
- \(\left(\frac{1}{2}\right)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
- \(\left(-\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi}\)
10進法では、各桁の階乗の和が元の数に等しい数は、自明なものを除いて二つしかない: \(145 = 1! + 4! + 5!\) and \(40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!\).
\(n!\)の10進表記での最後につく0の個数は\(\sum_{k = 1} \lfloor n / 5^k\rfloor\)で与えられる。[3]例えば、10000!は2000 + 400 + 80 + 16 + 3 = 2499のゼロがある。一般的に、\(b\)進法での\(n\)!のゼロの個数は\(\sum_{k = 1} \lfloor n / p^k\rfloor\)である。\(p\)は\(b\)の最大の素因数である。
特別な数
100の階乗は次に与えられる:
- 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
指数表記では、9.3326215443 × 10157に等しい。グーゴル3/2程である。
Lawrence Hollomは200!をファクスルと呼んでいる。
1000の階乗は4.0238726007 × 102567程である。
変種
Aalbert Torsius破壊上の変種を考え出した。\(x!n = \prod^{x}_{i = 1} i!(n - 1) = 1!(n - 1) \cdot 2!(n - 1) \cdot \ldots \cdot x!(n - 1)\)、\(x!0 = x\)。[4]
\(x!n\)は「xのレベルnの階乗」と呼ぶ。\(x!1\)は普通の階乗であり、\(x!2\)はSimonとPlouffeの 超階乗 \(x\$\)である。
特別な場合の\(x!x\)はトリアンという関数として知られる。
疑似コード
// Standard factorial function
function factorial(z):
result := 1
for i from 1 to z:
result := result * i
return result
// Generalized factorial, using Lanczos approximation for gamma function
g := 7
coeffs := [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028, 771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7]
function factorialReal(z):
ag := coeffs[0]
for i from 1 to g + 1:
ag := ag + coeffs[i] / (z + i)
zg := z + g + 0.5
return sqrt(2 * pi) * zgz + 0.5 * e-zg * ag
// Torsius' factorial extension
function factorialTorsius(z, x):
if x = 0:
return z
if x = 1:
return factorial(z)
result := 1
for i from 1 to z:
result := result * factorialTorsius(i, x - 1)
return result