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配列を多次元化/超次元化した関数については、BEAF をご覧ください。

配列表記Jonathan Bowers[1]によって作られた巨大関数である。これは拡張配列表記へと一般化され、また最終的にはBEAFバードの配列表記へ一般化された。

歴史 編集

Bowersはこの記法を作った約20年前、テトレーションペンテーションのような冪乗を超えるハイパー演算子に関する議論をある本で読んだ。これが彼を巨大数への更なる研究に向かわせた。彼はその本の演算子の拡張を考案し、それは今では拡張演算子として知られ、チェーン表記のような強さを持つ。その後、Bowersは拡張した演算子が4つの数で定義可能であり、5つ以上の数を使うことでさらに拡張できるということを発見し、さらにもっと先へ演算子を拡張することを決心した。これらは配列表記を作り上げる基礎となった[1]

Bowersは普段、配列の区切りに山括弧('<' と '>')を使っていたが、山括弧は HTML で問題が発生するため、代わりに波括弧('{' と '}')を使い、初めてサイト上でその記法が登場した。これを受け、Sbiis Saibianは元々の配列表記に波括弧を使い({a,b} = a+bという場合)、新しい配列表記には山括弧を使った(<a,b> = abという場合)[2]。慣例として、この記事の続きでは波括弧を新しい配列表記に使う。

規則 編集

配列は正の整数の有限の数列により定義される。配列表記はこの数列から1つの大きな正の整数への写像、すなわち関数 \(v(A)\) である。\(A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\)の時、\(v(A)\)を省略した形として\(\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}\)と書く。

  1. \(\{a\} = a\)、\(\{a,b\} = a^b\)。(元々の定義は \(\{a,b\}=a+b\)であったが、\(\{a,1\} = a+1 \neq a = \{a,1\}\)となり下記の規則2に反するため、変更された。)
  2. \(\{a,b,c,\dots,n,1\} = \{a,b,c,\dots,n\}\)
  3. \(\{a,1,b,c,\dots,n\} = a\)
  4. \(\{a,b,1,\ldots,1,c,d,\ldots,n\} = \{a,a,a,\ldots,\{a,b-1,1,\ldots,1,c,d,\ldots,n\},c-1,d,\ldots,n\}\) 言い換えれば、3番目の要素が1の時、
    • その次の1でない要素の前にある全ての要素は最初の要素に置き換わり、
    • 上記のうち最後のものは、元々の配列の2番目の要素が1差し引かれたものに置き換わり、
    • 先述の1でない要素は1差し引かれる。
  5. 規則1~4のいずれの場合にも当てはまらない場合、\(\{a,b,c,d,\ldots,n\} = \{a,\{a,b-1,c,d,\ldots,n\},c-1,d,\ldots,n\}\)

拡張演算子 編集

Bowersはまた「拡張された」配列表記の演算子も発明した。

\[a \{c\} b = \{a,b,c\}\]

例えば、 \(3\{3\}3 = \{3,3,3\}\) = トリトリ

配列 {a,b,c,d,e,f,g,h}で、 abcは数字で表現され、 d個の波括弧{ }が囲んでいる。eを表現するのに、 Bowers は e - 1個の各括弧 [ ]を使い上下に配置し、 ff - 1個の土星のような輪を使い、gg - 1 個の X-wing brackets(両側に…> <…)が使われる。 hは90度角の3次元の角括弧で表現される。 [1][2]

変数の数による分類 編集

3変数以下 編集

もし3変数以下ならば、簡単に配列を解くことが出来る。

  • もっとも単純なのは空のものである: \(\{\} = 1\). これは正確には正しい表記ない。
  • 1変数: \(\{a\} = a\)
  • 2変数: \(\{a,b\} = a^b\)

他の記法による近似 編集

\(\lbrace n,a+1,b+1,c+1,d+1,... \rbrace\) は、次のように近似される。

記法 近似
多変数アッカーマン関数 \(f^a(n); f(n)=A(...,d,c,b,n)\)
急増加関数 \(f_{... + \omega^2 d + \omega c + b}^{a}(n)\)
ハーディー階層 \(H_{\omega^{... + \omega^2 d + \omega c + b} a}(n)\)

チューリングマシンコード 編集

出典 編集

  1. 1.0 1.1 1.2 Bowers, Jonathan. Exploding Array Function. Retrieved 2013-11-26.
  2. 2.0 2.1 Saibian, Sbiis. 4.1.2 - Jonathan Bowers' Extended Operator Notation. Retrieved 2013-11-26.

関連項目 編集

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