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配列チェーン表記
多次元
基本関数 べき乗
急増加関数 \(f_{\omega^5}(n)\)

配列チェーン表記とは、閏土=プリシエン[1]がkaosu[2]と共同で 2017年7月21日に定義したチェーン表記を拡張した表記である[3]

定義編集

\begin{eqnarray*} a[1,Y]b &=& a^b \\ a[n+1,X_2](b+1) &=& a[n,X_2]a[n+1,X_2]b \\ a[Y,1,m+1,X_2](b+1) &=& a[Y,a[Y,1,m+1,X_2]b,m,X_2]a \\ X_1[n,X_2](a+1)[n,X_2](b+1) &=& X_1[n,X_2](X_1[n,X_2]a[n,X_2](b+1))[n,X_2]b \\ X_1[n,X_2]1 &=& X_1 \\ X_1[n,X_2]1[n,X_2]X_1' &=& X_1 \end{eqnarray*}

ここで

  • \(X_1, X_1'\): 長さ1以上のチェーン
  • \(X_2\): 0個以上の自然数(0は含まない)
  • \(Y\): 0個以上の1

近似編集

[1] はチェーン表記のチェーン → と一致する。したがって、たとえば 3[1]3[1]3[1]3 = 3→3→3→3 となる。

[n] は拡張チェーン表記の \(\rightarrow_n\) と一致する。ただし、拡張チェーン表記では1つの式の中にチェーンの種類が1種類であるとされているが、配列チェーン表記では複数種類のチェーンが入る。たとえば、

3[2]4 = 3[1]3[2]3 = 3[1]3[1]3[2]2 = 3[1]3[1]3[1]3[2]1 = 3[1]3[1]3[1]3

のように、「式の右から同種のチェーンの範囲を先に展開する」と解釈する。

\begin{eqnarray*} 3[n]n &\approx& f_{\omega^3}(n) \\ 3[n,1]n &\approx& f_{\omega^3}(n) \\ n[1,2]n &=& n[n[1,2](n-1),1]n \approx f_{\omega^3+1}(n) \\ n[2,2]3 &=& n[1,2]n[1,2]n \approx f_{\omega^3+\omega}(n) \\ n[2,2]4 &=& n[1,2]n[1,2]n[1,2]n \approx f_{\omega^3+\omega 2}(n) \\ n[2,2]n &\approx& f_{\omega^3+\omega^2}(n) \\ n[3,2]n &\approx& f_{\omega^3+\omega^2 2}(n) \\ n[n,2]n &\approx& f_{\omega^3 2}(n) \\ n[1,3]n &=& n[n[1,3](n-1),2]n \approx f_{\omega^3 2+1}(n) \\ n[2,3]n &\approx& f_{\omega^3 2 +\omega^2}(n) \\ n[n,3]n &\approx& f_{\omega^3 3}(n) \\ n[n,n]n &\approx& f_{\omega^4}(n) \\ n[n,n,1]n &\approx& f_{\omega^4}(n) \\ n[n,1,2]n &=& n[n,n[n,1,2](n-1),1]n \approx f_{\omega^4 +1}(n) \\ n[n,1,3]n &=& n[n,n[n,1,3](n-1),2]n \approx f_{\omega^4 + \omega^3}(n) \\ n[n,1,n]n &\approx& f_{\omega^4 2}(n) \\ n[1,2,n]n &=& n[n[1,2,n](n-1),1,n]n \approx f_{\omega^4 2 + 1}(n) \\ n[1,3,n]n &=& n[n[1,3,n](n-1),2,n]n \approx f_{\omega^4 2 + \omega^3}(n) \\ n[n,n,n]n &\approx& f_{\omega^4 3}(n) \\ n[n,n,n,1]n &\approx& f_{\omega^4 3}(n) \\ n[n,n,1,n]n &\approx& f_{\omega^4 4}(n) \\ n[n,1,n,n]n &\approx& f_{\omega^4 5}(n) \\ n[n,n,n,n]n &\approx& f_{\omega^4 6}(n) \\ n[\underbrace{n,...,n}_{n}]n &\approx& f_{\omega^5}(n) \\ \end{eqnarray*}

関連項目編集

出典編集

  1. @Runp_goppatoth
  2. @Tkaosu
  3. https://twitter.com/Runpri_50/status/888410901778276353

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