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膨張とは、\(a \{\{1\}\} b = a \{a \{\cdots \{a\} \cdots\}a\}a\)(中心からb個のa)であらわされる関数[1]BEAFでは{a,b,1,2}です。a{c}b は {a,b,c}で、 a "c + 2"-個の↑ b

これはテトレーションペンテーションなどのハイパー演算子よりも早く成長する。

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\(2\ \{\{1\}\}\ 2\) = 4.
\(2\ \{\{1\}\}\ 3\) = 2{2{2}2}2 = 2{4}2 = 2{3}2 = 2{2}2 = 2{1}2 = 4, もし基数が 2 で prime(?) ≥ 2なら、 結果は常に 4。

\(3\ \{\{1\}\}\ 2 = \{3,2,1,2\} = 3 \{3\} 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow 3\) (トリトリ)

\(a\ \{\{1\}\}\ 2 = \{a,2,1,2\} = a \{a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a}a\)

\(3\ \{\{1\}\}\ 3 = \{3,3,1,2\} = 3 \{3 \{3\} 3\} 3 = 3\{\text{トリトリ}\}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリトリ}}3\)

\(4\ \{\{1\}\}\ 3 = \{4,3,1,2\} = 4 \{4 \{4\} 4 \}4 = 4 \{\)\(\text{トリテット} \)\(\} 4 = 4\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\text{トリテット}}4\)

\(a\ \{\{1\}\}\ 3 = \{a,3,1,2\} = a \{a \{a\} a\} a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\}a}a\)

\(3\ \{\{1\}\}\ 4 = \{3,4,1,2\} = 3 \{3 \{3 \{3\} 3\} 3 \}3 = 3 \{3 \{\text{tritri}\} 3\} 3 = 3\{\ \{3,3,1,2\}\ \}3 = 3\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{3,3,1,2\} }3\) = \(3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3}3}3}3\)

\(a\ \{\{1\}\}\ 4 = \{a,4,1,2\} = a \{a \{a \{a\} a\} a \}a = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{a\{a\{a\}a\}a}a\)

\(3 \{\{1\}\} 66 = \{3,66,1,2\} >\) グラハム数

\(10 \{\{1\}\} 100 = \{10,100,1,2\} = \{10,10,\{10,99,1,2 \}\} = 10 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{10,99,1,2 \} }10\) (コーポラル)

\(a \{\{1\}\} b = \{a,b,1,2\} = \{a,a,\{a,b-1,1,2 \}\} = a \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{\{a,b-1,1,2\} }a\)

解説 編集

この表記のステップ解説:

  1. a = 8、b = 5、とする。これは{8,5,1,2}。
  2. 8{8{8{8{8}8}8}8}8, よって8は5個 (中心の8も含む)。 
  3. 中心の8を消去、 8{8}8 を矢印表記で 8↑88 とする。.
  4. 8{8{8{8↑88}8}8}8 となり、 8{r}8 をxとする。
  5. 8{8{8{x}8}8}8 と変換される。
  6. 8 (x+2個の↑) to 8 = y とおく。
  7. 8{8{y}8}8 と変換される。
  8. これを続ける。

疑似コード 編集

function expansion(a, b):
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, a, result + 2)
    return result

function hyper(a, b, n):
    if n = 1:
        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, result, n - 1)
    return result

他の表記との比較 編集

Notation Approximation
ハイパーE表記 \(a\#\#a\#b\)
チェーン表記 \(a \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow 2\)
急増加関数 \(f_{\omega+1}(n)\)
ハーディー階層 \(H_{\omega^{\omega+1}}(n)\)
緩成長階層 \(g_{\Gamma_0}(n)\)

出典 編集

  1. Array Notation by Jonathan Bowers

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