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素数階乗

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素数階乗とは、素数階乗のカバン語である。次のように定義される

\[p_n \# = \prod^{n}_{i = 1} p_i\]

ここで\(p_n\)はn番目の素数である。[1] また、少し複雑な定義として

\[n \# = \prod^{\pi (n)}_{i = 1} p_i\]

がある。ここで、\(\pi (n)\)は素数の個数関数である。

これらを統合し、簡単にすると、素数階乗は「nまでの素数すべての積」と言える。例えば、\(16 \# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030\)。

第一チェビシェフ関数により、素数階乗の次のような関係式が導かれる。

\[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[p_n]{p_n \#} = e\]

ここで、eはネイピア定数である。

ユークリッドの定理 編集

素数階乗は、素数が無限にあることの証明にも使われる。もし最大の素数を\(P\)とおくと、\(P \# + 1\)もまた素数となり、これは仮定と矛盾している。よって、背理法より、命題が証明される。また、これは混乱してしまうが、\(p \# + 1\)はいつも素数ではない。

出典 編集

  1. [1]

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