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第三クロちゃん数とは、クロちゃんが考案した巨大数である[1]

定義編集

\(f(x)=x!^x\)(ネスト階乗表記) 

\(f(x)↑^2 2= f^{f(x)}(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} 2= f(x)↑^nf(x)\)

\(f(x)↑^{n+1} m+1= f(x)↑^n (f(x)↑^{n+1} m)\)


\(f(x) \rightarrow b \rightarrow c = f(x)\underbrace{↑\ldots↑}_cb\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b\)

\(f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (f(x) \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)


\(f(x)\rightarrow^2 n=\underbrace{f(x)\rightarrow f(x)\ldots\rightarrow f(x)}_n\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} 2= f(x)\rightarrow^nf(x)\)

\(f(x)\rightarrow^{n+1} m+1= f(x)\rightarrow^n (f(x)\rightarrow^{n+1} m)\)

\(KK(x) = f(3)\underbrace{\rightarrow\ldots\rightarrow}_xf(3)\)


  • X : 0個以上の0以上の整数
  • Y : 0個以上の0
  • a, b : 0以上の整数

\begin{eqnarray*} k(Y, a) & = & KK(a) \\ k(X, b+1, 0) & = & k(X, b, 1) \\ k(X, b+1, a+1) & = & k( X, b, k(X, b+1, a) ) \\ k(X, b+1, 0, Y, a ) & = & k(X, b, a, Y, a) \end{eqnarray*}

\(K_3(x)=k(\underbrace{1,\ldots,1}_x )\)

とすると、第三クロちゃん数は\(K_3^{63}(4)\)である。

近似 編集

\begin{eqnarray*} k(n) & = & KK(n) \approx f_{\omega^2+\omega}(n)\\ k(1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2+\omega 2 + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^2 2 +\omega + 1}(n)\\ k(1, 1, 1, 1, n) & \approx & f_{\omega^3 + \omega^2 +\omega + 1}(n)\\ K_3(n) & = & k(\underbrace{1,\ldots,1}_n ) \approx f_{\omega^\omega}(n) \\ K_3^{63}(4) &\approx& f_{\omega^\omega}^{64}(4) \\ \end{eqnarray*}

出典編集

  1. 巨大数探索スレッド8-343

関連項目 編集

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