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第一非可算順序数

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\(\omega_1\) (\(\Omega\) ともよく書かれる)は、「オメガ1」あるいは「第一非可算順序数」(first uncountable ordinal) と呼ばれ、最小の非可算順序数である。これには、以下のようにいくつかの同値の定義がある。

  • 自然数から順序数 \(\alpha\) への全射が存在する時に、 \(\alpha\) が可算であると言う。\(\omega_1\) は可算でない最小の順序数である。
  • \(\omega_1\) は、その基本列が自分自身に等しい2番目の順序数である。
  • \(\omega_1\) は、自然数への写像が存在するようなすべての順序数の上限である。
  • \(\omega_1\) は、すべての可算順序数の集合である。ここで、順序数の定義は、自らよりも小さいすべての順序数の集合である。
  • \(\omega_1\) は、\(\omega\) よりも大きい基数(濃度)を持つ最小の順序数である。すなわち、 \(|\omega_1| = \aleph_1 > \aleph_0 = |\omega|\) となる。

順序数崩壊関数で第一非可算順序数が使われる理由は、(1)これは順序数崩壊関数で構成できるいかなる順序数よりも大きい。(2)「可算」という言葉を使うことが便利である。という、2つの理由がある。そのような場面では、通常 \(\vartheta(\Omega^\Omega)\) のように大文字の \(\Omega\) を使ってあらわされる。

\(\omega_1\) には可算基本列(可算無限個の数列であらわされる基本列、すなわち通常の基本列)が存在しないため、急増加関数やその仲間の限界を示している。ただし、\(\omega_1\) よりも大きい可算基本列が存在する順序数は存在する。たとえば、 \(\omega_1 \times \omega\) や \(\omega_\omega\) などである。

連続体仮説 は \(\omega_1\) が実数と同じ基数をもつことを明言する、それはつまり、可算順序数から実数への全単写が存在しうることになる。連続体仮説は ZFC から独立していることが示されたが、それは証明あるいは反証が不可能であることを意味し、 仮説への満足のいく解決策はまだ見つかっていない。

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