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チェーン表記もご覧ください。
矢印表記
3変数
基本関数 冪乗
急増加関数 \(f_{\omega}(n)\)

矢印表記 (Arrow notation) または上矢印表記 (up-arrow notation) は、広く使われているハイパー演算子の記法で、1976年にドナルド・クヌースにより巨大数を表わすために考えられた[1]。以下のルールで定義される。

\begin{align*} a \uparrow^1 b &= a^b, \\ a \uparrow^n 1 &= a, \\ a \uparrow^{n + 1} (b + 1) &= a \uparrow^n (a \uparrow^{n + 1} b). \end{align*}

\(a \uparrow^{n} b\) は \(a \uparrow\cdots\uparrow b\) (上矢印がn本)を縮めて記述したものである(nは正の整数)。n=0のとき、乗算に落とされる(\(a\uparrow^0 b = a\times b \))。 矢印表記は右結合であり、\(a \uparrow b \uparrow c\)は常に\(a \uparrow (b \uparrow c)\)を意味する。

\(a \uparrow b\)は冪乗、\(a \uparrow\uparrow b\)はテトレーション、\(a \uparrow\uparrow\uparrow b\)はペンテーション、などである。ASCII文字では、これらをa^b, a^^b, a^^^b, ...と表記する。

矢印表記は、さらに他の表記へと一般化されている。注目すべきものとして、チェーン表記と有名な BEAFバードの配列表記がある。

なお、矢印表記のことが「タワー表記」と書かれていることがある。指数タワー、パワータワー (Power tower) [2]という用語は指数が塔のように高く連なるテトレーションのことを意味しているので、ペンテーション以上の矢印表記を「タワー表記」と書くのは、あまり適切な訳ではないと思われる。

計算例 編集

  • \(2 \uparrow 3 = 2^3 = 8\)
  • \(5 \uparrow 6 = 5^6 = 15625\)
  • \(3 \uparrow\uparrow 4 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 27 = 3^{7625597484987}\)
  • \(5 \uparrow\uparrow 3 = 5 \uparrow 5 \uparrow 5 = 5^{5^5}\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow 2 = 2^2 = 4\)
  • \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987\)
  • \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 4 = 2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2 = 2 \uparrow 2 \uparrow 4 = 2 \uparrow 16 = 65536\)

チューリング機械コード 編集

Input form: to represent \(a \uparrow^{c} b\), place a 1's, then c+2 ^'s, then b 1's. 例として、111^^^^^111はトリトリになります。

Turing machine code



0 * * r 0

0 _ _ l 1

1 1 _ l 2

2 ^ _ l 3

2 1 1 l 4

3 ^ _ l 3

3 1 _ l 2

4 1 1 l 4

4 ^ 1 l 4'

4 _ 1 l halt

4' ^ ^ l 5

4' 1 1 r 0

5 ^ ^ l 5

5 1 1 r 6

6 ^ x r 7

6 1 y r 9

6 | ^ l 12

7 * * r 7

7 _ | r 8

7 | | r 8

8 * * r 8

8 _ ^ l 11

9 * * r 9

9 | | r 10

10 * * r 10

10 _ 1 l 11

11 * * l 11

11 x ^ r 6

11 y 1 r 6

12 * * l 12

12 ^ ^ l 12'

12' ^ ^ l 12'

12' * * l 13

12' 1 x r 14

13 * * l 13

13 ^ ^ r 20

13 _ _ r 20

13 1 x r 14

14 * * r 14

14 ^ ^ r 15

15 ^ ^ r 15

15 x x r 16

15 1 x l 12

16 x x r 16

16 1 x l 12

16 ^ x r 17

17 ^ ^ r 17

17 1 ^ r 18

18 ^ 1 r 17

18 1 1 r 18

18 _ 1 l 19

19 * * l 19

19 x x l 12

20 x 1 r 20


20 ^ ^ r 21

21 ^ ^ r 21

21 x x r 22

22 x x r 22

22 1 _ r 23

22 ^ ^ l 30

23 1 _ r 23

23 ^ ^ l 24

24 _ ^ r 25

25 ^ ^ r 25

25 1 1 l 26

26 ^ 1 r 27

27 1 1 r 27

27 _ _ l 28

28 1 _ l 29

29 * * l 29

29 _ ^ r 25

29 x 1 l 30

30 x 1 l 30

30 ^ ^ r 31

31 * * r 31

31 _ _ l 32

32 1 _ l 1

プログラム 編集

矢印表記の計算を実行するプログラム[3]が書かれている。

出典 編集

  1. Arrow Notation from Wolfram Mathworld
  2. Power Tower - Mathworld
  3. [1]

関連項目 編集

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