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指数階乗 (exponential factorial[1] あるいは expofactorial[2])は、階乗の指数バージョンで、再帰的に \(a_0 = 1\) そして \(a_n = n^{a_{n - 1}}\) と定義される。たとえば、 \(a_6 = 6^{5^{4^{3^{2^1}}}}\) である。

The first few \(a_n\) for \(n = 0, 1, 2, 3, \ldots\) are 1, 1, 2, 9, 262144, ... (OEIS A049384). The next number, 5262144, has 183231 digits and starts with 620606987866087447074832055728467... Exponential factorial of 6 is approximately \(10^{4.829261036 \cdot 10^{183230}}\) and starts with 110356022591769663217914533447534.... The sum of the reciprocals of these numbers is 2.6111149258...

The exponential factorial satisfies the bound \(a_n \leq {^{n-1}n}\) (テトレーション).

In 超階乗配列表記, expofactorial is equal to n!1.

出典 編集

  1. Exponential Factorial from Wolfram MathWorld
  2. A049384 from OEIS

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