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巨大数論と巨大数の一般的な話については、巨大数 をご覧ください。
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「巨大数論 第2版」の表紙

巨大数論」は、フィッシュ[1][2]による巨大数論をまとめた書籍[3][4][5]

2007年9月24日に「書きかけ版」のPDFファイルがホームページで公開され、2013年10月19日に初版のPDFファイルが公開された。2017年6月29日には、2版の単行本がインプレス R&D の著者向けPOD出版サービス[6]から出版されてアマゾンで販売が開始し、PDF版も同時に公開となった。

この書籍の1章は、「巨大数入門」という電子書籍として独立して、アマゾン Kindle ストア[7]、楽天 Kobo[8]、Apple の iBooks store[9] で出版されている。

概要

章が進むにつれて次第に大きな巨大数が取り扱われる。

第1章の「巨大数入門」では、いわゆる指数表記を重ねていくことで、その大きさの程度を表記できるような大きさの数が紹介される。たとえば、無量大数不可説不可説転グーゴルシャノン数グーゴルプレックススキューズ数宇宙論の巨大数ベントレー数などである。

第2章ではテトレーションをはじめとするハイパー演算を表記するためのクヌースの矢印表記を導入し、トリトリのような数が紹介される。そして、第3章では、モーザー数や有名なグラハム数が紹介され、コンウェイのチェーン表記が紹介される。第4章では、多変数アッカーマン関数拡張チェーン表記ふぃっしゅ数のバージョン1から3まで、配列表記などが紹介される。

第5章では順序数の概念が導入され、ハーディー階層急増加関数による関数の爆発力の強さの評価方法が紹介され、第4章までの関数の強さを評価する。そして理論体系の強さを証明論的順序数で評価するための順序数解析が簡単に紹介される。そして、この概念を使うことで、第6章では急増加関数において\(f_{\epsilon_0}\)のレベル、つまりペアの算術の限界までの関数が紹介され、解析される。具体的には、ドル関数の角括弧表記、ふぃっしゅ数バージョン5ヒドラゲーム原始数列数BEAFのテトレーション配列等である。

第7章では、大きな可算順序数を表記するために、ヴェブレン関数、順序数崩壊関数が解説され、ブーフホルツのヒドラBEAFバシク行列システム強配列表記ローダー数、フリードマンの証明論的巨大数(サブキュービックグラフ数超越整数有限約束ゲーム欲張りクリーク列)が紹介されている。

第8章はビジービーバー関数を始めとするチューリングマシンによって計算不可能な関数について紹介される。クサイ関数ふぃっしゅ数バージョン4と7、ラヨ数ビッグフットサスクワッチなどである。

以上のように、巨大数を作り、その解釈をするために数学基礎論、数理論理学、証明論、計算機科学のような数学の分野から、再帰理論、順序数、逆数学、述語論理、計算可能性理論のような理論が導入され、解説されている。 これらの理論は、そもそもは巨大数とは無関係に発展してきたものであるが、多くの巨大数愛好家たちが巨大数を作って評価するという目的で議論を重ねて、色々な数学の成果を取り入れてて、巨大数論という体系として取りまとめられている。

目次

  • はじめに
  • 第1章 巨大数入門
  • 第2章 原始再帰関数
  • 第3章 2重再帰関数
  • 第4章 多重再帰関数
  • 第5章 順序数
  • 第6章 ペアノ算術の限界
  • 第7章 再帰関数
  • 第8章 計算不可能な関数
  • おわりに
  • 巨大数年表
  • 索引

受賞

2018年3月20日にインプレスグループ創設25周年企画「POD個人出版アワード」で審査員特別賞(窓の杜賞)を受賞した[10]

書誌情報

出典

  1. フィッシュのアマゾン著者ページ
  2. 巨大数研究 WIki のユーザーページ
  3. 「巨大数論 第2版」アマゾン単行本
  4. 「巨大数論」PDF版が公開されている著者ページ
  5. GitHub レポジトリ
  6. 著者向けPOD出版サービス
  7. 「巨大数入門」Kindle 版
  8. 「巨大数入門」楽天 Kobo 版
  9. 「巨大数入門」iBooks 版
  10. インプレスグループ創設25周年企画 「POD個人出版アワード」受賞作品決定!

関連項目