スタインハウス・モーザー表記 (Steinhaus-Moser Notation) は、Hugo Steinhaus によって作成され、 Leo Moser によって拡張された記法である[1]。多角形表記とも言われる。
定義[]
Hugo Steinhaus による当初の定義は、このような式である。
- Triangle(n) = nn = \(\approx f_2(n)\)
- Square(n) = \(\boxed{n}\) = n 個の三角形の中に n を書いた図 \(\approx f_3(n)\)
- Circle(n) = ⓝ = n 個の四角形の中に n を書いた図 \(\approx f_4(n)\)
Triangle(n) は、三角形の中に n を書いた図として表現され、Square(四角形)と Circle(円)についても同様である。
Leo Moser は、この表記を5角形、6角形、7角形、8角形、等へと拡張した。ここで、x角形の中にnを書いた図で表される数はn重の(x - 1)角形の中にnを書いた図で表される数と等しい。もちろん、このバージョンでは円は使わずに、5角形に変えられた。
Matt Hudelson[2] は、同様なバージョンをこのように定義した。
- Line(n) = n| = nn
- Wedge(n) = n< = n の右に n 本の|を並べた図
- Triangle(n) = = n の右に n 個の<を並べた図
- Square(n) = \(\boxed{n}\) = n 個の三角形の中に n を書いた図
- etc.
スタインハウス・モーザー表記は、急反復階層で \(f_0(n) = n^n\) とした関数である。\(f_{m - 3}(n)\) は、m角形の中のnである。
表記法[]
Susan Stepneyは、自らのサイトで、多角形の代わりに鍵括弧を使用する表記法を示し[3]、以下のように定義している。
- a角形の中にnを書いた図を\(n[a]\)と表記する。
- b角形の中にa角形の中にnを書いた図を描いた図を\(n[a][b]\)と表記する。
- p重のa角形の中にnを書いた図は\(n[a]_{p}\)と表記する。
- 上記により、一般的にk角形の中にnを書いた図は\(n[k]=n[k-1]_{n}\)と表せられる。
上記により、それぞれの多角形は以下のように表記される。
\( \begin{array}{rl} \text{Triangle}(n) &=& n[3] = n^{n} \\ \text{Square}(n) &=& n[4] = n[3]_{n} \\ \text{Circle}(n) &=& \text{Pentagon}(n) = n[5] = n[4]_{n} \end{array} \)
例[]
以下簡単の為に、Stepneyの表記で記す。
- \(\text{Triangle}(\text{Triangle}(n)) = \text{Triangle}^{2}(n) = n^{n}[3] = (n^{n})^{n^{n}}\)
- \(\text{Triangle}(\text{Triangle}(\text{Triangle}(n))) = \text{Triangle}^{3}(n) = (n^{n})^{n^{n}}[3] = ((n^{n})^{n^{n}})(n^{n})^{n^{n}}\)
- \(\text{Square}(n) = \text{Triangle}^{n}(n) = n[4] = n[3]_{n} = n\underbrace{[3][3]\dots[3][3]}_{n}\)
疑似コード[]
function polygon(n, level): if level == 3: return nn r := n repeat n times: r := polygon(r, level - 1) return r
矢印表記による近似値[]
矢印表記では、単純な多角形表記について、非常に大雑把ではあるが、以下のように近似する事が可能である。
\( x[3]_{y} \approx x\uparrow\uparrow(y+1) \\ x[4]_{y} \approx (x\uparrow\uparrow)^{x}(y+1) \approx x\uparrow\uparrow\uparrow(y+1) \\ x[z]_{y} \approx x\uparrow^{z-1}(y+1) \)