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可融数

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可融数とは、「可融差関数」という、よくわからない成長の早い数を生み出す有理数の一連である。[1][2]この数は次のような数学パズルから生み出される。

あなたは導火線を二本持っている。どちらもちょうど1分で燃え尽きる。だが、燃え方は一様でなく、いつどこまで燃え尽きているかを予想することは不可能である。あなたは時間\(t = 0\)の時か導火線が完全に燃え尽きたときにのみ導火線をつけたり消したりことが出来る。さて、どうやったらこの導火線で45秒を測れるだろう。

これの答えは、まず一つはその両側に、もう一つは片方のみにつけることである。片方が燃え尽きたとき、30秒が経過している。そしてもう一つ残っている方の燃えていない端に火をつける。この導火線が燃えつきるのに15秒かかるので、全体では30+15=45秒経過したことになる。

もし時間\(t\)が有限の本数の導火線で時間が測れる時、その数を可融であるという。45秒=3/4分は測れるので、\(3/4\)は可融である。\(a\)と\(b\)を可融数かつ\(|a - b| < 1\)とした時、\(x\)が\(x = (a + b + 1) / 2\)か\(x = 0\)である時に限り、\(x\)は可融である。この数はJeff Ericksonによって発見された。

すべての可融数の集合は実数の順序付けにより秩序立っている。その型は最低でも\(\varepsilon_0\)とされており、それが正確な値だと予想されている。

差関数編集

\(m(x) = f(x) - x\)を定義する。ここで、\(f(x)\)は\(x\)より大きい中で最も小さい可融数である。Ericksonは最初\(m(x) = -x\) (\(x < 0\))そしてそれ以外は\(m(x - m(x - 1)) / 2\)とした。だがJunyan Xuはそれは誤りであるとし、次のように定義した。[3]

\[m(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -x & \text{if } x < 0 \\ m(x - m(x - 1) - 1/a + 2^{\lceil \log_2 m(x - 1) \rceil}) / 2 & \text{otherwise} \end{array} \right.\]

ここで\(a\)は\(f(x - 1) = m(x - 1) + x - 1\)の分母である。

この式はあくまでも予想であり、\(m(x)\)の定式は存在しない。

最初のいくらかの値は\(m(0) = 2^{-1}\)、 \(m(1) = 2^{-3}\)、 \(m(2) = 2^{-10}\)である。 \(m(3)\)は\(2^{-2↑↑↑↑↑↑↑↑↑16}\)よりも小さいだろうと推測されている。 \(m_1(x) = -\log_2 m(x)\)はとても速く発散し、x=4に対する値はグラハム数も超える。その性質はあまり知られていない。

具体例編集

m(0)編集

0の次の可融数、すなわち正の可融数のうち最小のものを求めればよい。それは1/2、すなわち1本の導火線の両方に火をつけたときである。

m(1)編集

簡単のため、9/8が可融数であることを示すのみとする。ここでは、3本の導火線を使用する。

  • 最初に、1本目の導火線の両端と2本目の導火線の片方の端に火をつける。
  • 1/2分経ったときには、1本目の導火線が燃え尽きて2本目の導火線が残り1/2分になっている。このときに、2本目の導火線のもう一方の端に火をつけ、同時に3本目の導火線の片方の端に火をつける。
  • 3/4分経ったときには、2本目の導火線が燃え尽きて3本目の導火線が残り3/4分になっている。ここで、3本目の火をつけていない方の端に火をつける。
  • 9/8分後、3本目の導火線が燃え尽きる。

出典 編集

  1. Fusible numbers - Jeff Erickson
  2. Fusible numbers
  3. Survey on Fusible Numbers - Junyan Xu

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