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到達不能基数 (inaccessible cardinal)、 もしくは強い到達不能基数 (strongly inaccessible cardinal) は順序数/基数で非可算標準強極限基数 (uncountable regular strong limit cardinal) である。最小の到達不可能基数は"the" inaccessible cardinal \(I\)と呼ばれることもある。

下がその定義である。到達不能基数\(\alpha\)は:

  • 非可算: \(\alpha \geq \omega_1\).
  • 標準: これは \(\alpha\) がより小さい順序数の集合 \(S\)で表されないことを意味する。それはより小さい集合のより小さい集合に分けることが出来ないともいえる。
  • 強極限: 次の階層で定義されるベス数に対して\(\alpha = \beth_\gamma\)(\(\gamma\)は極限基数)である:
    • \(\beth_0 = \aleph_0\)
    • \(\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}\) (基数冪乗)
    • \(\beth_\alpha = \sup\{\beta < \alpha : \beth_\beta\}\)

もし「強い極限基数」を「極限基数」で置き換えたら(「ベス数」を「アレフ数」で置き換える)、弱い到達不能基数を得ることが出来る。強い物と弱い物との関係は、一般連続体仮説 (GCH) が偽であった場合のみある。もしそれが真であれば、すべての極限基数は強い極限基数である。

GCHの脇で、ZFC中では弱い到達不能基数も強いものも証明されていない。ZFCかつ「そこに弱い到達不能基数が存在する」ものは、一貫性があると推測されている。しかし、Tarski–Grothendieck set theory はそれらの存在を証明できる。

しばしば、最初の到達不能基数 \(I\)は大きな基数に対して閾値となると考えられる。それはつまり、\(I\)より大きな基数は大きく、そうでなければ小さいという事である。

到達不能基数が巨大数論に最も関連するのは、順序数崩壊関数である。

到達不能基数を用いた崩壊関数 編集

\(\alpha \mapsto \psi_I(\alpha)\)は\(\beta \mapsto \Omega_\beta\)の収束点を列挙できるため、\(\psi_I(0)\)はオメガ収束点、\(\psi_I(1)\)は二番目の収束点、そして続く。

\(I\)はまた、\(\Omega\)が普通の\(\psi\)関数の対角化成分であったように、\(\psi_I\)関数の対角化成分である。特に、\(\psi_I(I)\)は \(\alpha \mapsto \psi_I(\alpha)\) の最初の収束点である。

関連項目 編集

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