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冪乗(べきじょう)または累乗(るいじょう)は、 \(a^b = a\) という演算であり、自分自身の乗算を \(b\) 回繰り返す。たとえば、 \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\) である。現代の数学では定着している。\(a^b\) は「aのb乗」「aをb乗する」などと言い、aを底または基数、bを冪数、冪指数、あるいは指数と言う。

巨大数論では、3番目のハイパー演算子であり、冪乗を繰り返すとテトレーションとなる。

急増加関数では、 \(f_2(n)\) が冪乗の増加速度に相当する。

定義 編集

負でない整数 \(b\) に対して、冪乗は以下の定義となる。

\[a^b := \prod_{i = 1}^{b} a\]

一般の \(b\) に対しては、 \(a^b\) は \(e^{b \ln a}\) と定義される。ここで、 \(e^x\) は指数関数、 \(\ln\) は自然対数で、このように定義される。

\[e^x := 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\] \[\ln x := \int_1^x \frac{dt}{t}\] (n! は n の階乗)

この定義により、指数が整数でない場合に拡張される。\(e^x\)の計算に \(x^i\) が含まれるが、iは負でない整数であるため、負でない整数を先に定義してから一般の実数に定義を拡張することにより、自己循環的な定義にはならない。

冪乗の性質 編集

下に冪乗の恒等式を示す。

\[a^0 = 1\]
\[a^1 = a\]
\[1^a = 1\]
\[0^a = 0\]

\(0^0 = 0 \text{ or } 1\) は文脈によって異なった値をとるが、たいていは定義不可能として扱われる。

下に幾つか冪乗を扱う上で便利な性質を示す。

\[a^{-b} = \frac{1}{a^b}\]
\[a^{b + c} = a^b \cdot a^c\]
\[a^{b - c} = \frac{a^b}{a^c}\]
\[a^{b \cdot c} = \left(a^b\right)^c\]

これらはべき乗を冪関数で表現することで証明される。

\(a^{1/b}\)はよく\(\sqrt[b]{a}\)と書かれ、 \(b = 2\),のとき、よく次のように書かれる: \(\sqrt{a}\)。これは\(a\)の平方根とも呼ばれる。

前のハイパー演算子である加算乗算と違い、べき乗は交換法則も結合法則も成立しない。例えば、 \(3^5 = 243 > 125 = 5^3\)、 \(3^{2^3} = 6561 > 729 = \left(3^2\right)^3\)である。

\(a^b \not= b^a\)はそれらが1か2である場合を除いて成立する。

繰り返しのべき乗は右から左に計算する。例えば、 abcd = a(b(cd)).

^記号は計算で始めに解かれる。例えば、a*b^c = a*(b^c) .

微分積分学 編集

微分積分学における二つの重要な法則に、微分と積分における 指数法則がある。

\[\frac{d}{dx}x^n = nx^{n - 1}\]

\[\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C,\ n \neq -1\]

他の記法 編集

冪乗は他の記法ではこのように書ける。

  • 矢印表記では \(x \uparrow y\)
  • チェーン表記では \(a \rightarrow b\) or \(a \rightarrow b \rightarrow 1\)
  • BEAFでは \(\{x, y\}\) or \(x\ \{1\}\ y\)[1]
  • ハイパーE表記では E(a)b
  • プラス表記では \(a +++ b\)。
  • スター表記では \(a ** b\)。
  • PhytonやRubyなどのプログラミング言語では、 a ** bである。

出典 編集

  1. [1]

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