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下矢印表記

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より強い演算子については、矢印表記 をご覧ください。
下矢印表記
3変数
基本関数 冪乗
急増加関数 \(f_{\omega}(n)\)

下矢印表記は、矢印表記と同じく加算乗算冪乗の拡張であるが、矢印表記との最大の違いは、左結合であるという点である。すなわち、

\[a \downarrow^1 b = a^b \text{ (if n=1)}\] \[a \downarrow^n 1 = a \text{ (if b=1)}\] \[a \downarrow^{n + 1} (b + 1) = (a \downarrow^{n +1} b) \downarrow^n a \text{ (otherwise)}\]

である。左から計算するという規則から、下付きハイパー演算子に相当する概念といえる。

下矢印表記は下付きハイパー演算子と同じく増加速度が遅いため、巨大数論においては上矢印表記ほど重要ではないが、en:Clarkkkkson はこれを用いて定義されている。

計算 編集

  • \(3 \downarrow\downarrow 3 = 3^{3^2} = 3^9 = 19683\)
  • \(3 \downarrow\downarrow\downarrow 2 = (3 \downarrow\downarrow\downarrow 1)\downarrow\downarrow 3 = 3\downarrow\downarrow 3\)
  • \(3 \downarrow\downarrow\downarrow 3 = (3 \downarrow\downarrow\downarrow 2)\downarrow\downarrow 3 = 19683 \downarrow\downarrow 3 = 19683^{19683^2}\)

一般に、

  • \(a\downarrow\downarrow b=a^{a^{b-1}}\)

以下、aが小さくないとき、

  • \(a\downarrow\downarrow\downarrow b\approx a\uparrow\uparrow(b+1)\)
  • \(a\downarrow^4 b\approx a\uparrow\uparrow(a(b-1)+1)\)
  • \(a\downarrow^5 b\approx(a\uparrow\uparrow)^{b-1}(a(a-1)+1))>a\uparrow\uparrow\uparrow b\)
  • \(a\downarrow^6 b\approx(a\uparrow\uparrow)^{(a-1)(b-1)}(a(a-1)+1)>a\uparrow\uparrow\uparrow((a-1)(b-1)+1)\)

英語版によれば、\(a, b, n \ge 1\)であるときに\(a \downarrow^{2n-1} b \ge a \uparrow^n b\)が成り立つとされている。すなわち、矢印表記よりは増加速度は遅いものの、下矢印を2本ずつ重ねれば結局矢印表記と同じ増加速度が得られるので、急増加関数において\(f_\omega(n)\)の増加レベルに相当する。

関連項目 編集

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