ヴェブレン関数

ヴェブレン関数 (Veblen function; ヴェブレン関数; ヴェブレン階層; ファイ関数; φ関数) は、オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文.^[1] に書いた正規関数 \(\varphi_\alpha: \textrm{On} \rightarrow \textrm{On}\) の階層である。この関数によってイプシロン数による表記の限界 \(\zeta_0\) を超える順序数を得ることができる。以下には、現代バージョンのヴェブレン関数を記す。

ヴェブレン階層[]

\(2\)変数ヴェブレン関数とそれに付随する基本列系による階層は以下のように定義される。

(\(2\)変数)ヴェブレン関数[]

1) \(\varphi_0(\gamma)=\omega^\gamma\)

2) \(\alpha>0\) に対して \(\varphi_\alpha(\gamma)\) は、すべての \(\beta<\alpha\) で不動点 \(\varphi_\beta(\xi)=\xi\) となるような\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

ここから、\(\varphi_1(\gamma)=\varepsilon_\gamma\)、\(\varphi_2(\gamma)=\zeta_\gamma\) 等と求められる (\(\varepsilon_\gamma\) は \(\xi\mapsto \omega^\xi\) である \(\xi\) を、 \(\zeta_\gamma\) は \(\xi\mapsto \varepsilon_\xi\) である \(\xi\) を数え上げる関数である)。

例: \(\varphi_2(2)=\zeta_2\) は \(\varphi_0(\xi)=\xi\) と \(\varphi_1(\xi)=\xi\) の共通の不動点、つまり \(\zeta_2=\omega^{\zeta_2}\) かつ \(\zeta_2=\varepsilon_{\zeta_2}\) の共通の不動点であり、特に \(\zeta_0\) と \(\zeta_1\) に続く三番目の不動点である。

すべての順序数 \(\alpha<\Gamma_0\) はヴェブレン階層を使い次のように表記することができる:

\(\alpha=\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)\),

このとき、各\(\beta_m,\gamma_m\)は以下の条件を満たすように取ることが出来、その条件下では上の表示は一意となる。

\(\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) \ge \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) \ge \cdots \ge \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)\)
\(\beta_m,\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m)\) for \(m \in \{1,...,k\}\)

ここで\(\Gamma_0\) は \(\varphi_\alpha(0)=\alpha\) である最小の \(\alpha\) を表す。

ヴェブレン階層の極限順序数に対する基本列[]

極限順序数\(\alpha\)に対する基本列とは、\(\alpha\)を極限に持つ狭義単調増加\(\omega\)-列、すなわち、自然数を添え字に持つ順序数列\(\{\xi_n\}_{n<\omega}\)で、その極限\(\lim_{n\to\omega}\xi_n\)が\(\alpha\)であるもののことである。以下では、\(\alpha\)に対する基本列のn番目の数を\(\alpha[n]\)と表すこととする。

ヴェブレン階層に対する基本列を以下で定義する：
0でない極限順序数\(\alpha<\Gamma_0\)の正規形表記に対して、

1.1) \((\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k))[n]=\varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]\),

1.2) \(\varphi_0(\gamma)=\omega^{\gamma}\), \(\varphi_0(\gamma+1) [n] = \omega^{\gamma} \cdot n\),

1.3) \(\varphi_{\beta+1}(0)[n]=\varphi_{\beta}^n(0)\),

1.4) \(\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)[n]=\varphi_{\beta}^n(\varphi_{\beta+1}(\gamma)+1)\),

1.5) 0でない極限順序数\(\gamma<\varphi_\beta(\gamma)\)に対して、\(\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n])\),

1.6) 0でない極限順序数\(\beta<\varphi_\beta(0)\)に対して、\(\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0)\),

1.7) 0でない極限順序数\(\beta\)に対して、\(\varphi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \varphi_{\beta [n]}(\varphi_{\beta}(\gamma)+1)\).

ルール1.3と1.4について、\(\varphi^n\)とは関数の反復を表している：\(\varphi_{\beta}^0(\gamma)=\gamma\)であり、また任意の\(m<\omega\)に対して\(\varphi_{\beta}^{m+1}(\gamma)=\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}^{m}(\gamma))\)である。

ヴェブレン関数の値[]

\(\varphi(0,0)=1\)
\(\varphi(0,1)=\omega\)
\(\varphi(0,2)=\omega^2\)
\(\varphi(0,\varphi(0,1))=\varphi(0,\omega)=\omega^\omega\)
\(\varphi(0,\varphi(0,1)+1)=\omega^{\omega+1}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,1)+2)=\omega^{\omega+2}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,1)+\varphi(0,1))=\varphi(0,\varphi(0,1)\times 2)=\omega^{\omega \times 2}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,2))=\varphi(0,\varphi(0,1)\times \omega)=\omega^{\omega^2}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,1)))=\varphi(0,\varphi(0,\omega))=\omega^{\omega^{\omega}}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,2)))=\omega^{\omega^{\omega^2}}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,1))))=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}\)
\(\varphi(1,0)=\varepsilon_0\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+1)=\varphi(1,0) \times \omega = \omega^{\varepsilon_0+1}\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+2)=\omega^{\varepsilon_0+2}\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,1))=\omega^{\varepsilon_0+\omega}\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,2))=\omega^{\varepsilon_0+\omega^2}\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(0,\varphi(0,1)))=\omega^{\varepsilon_0+\omega^\omega}\)
\(\varphi(0,\varphi(1,0)+\varphi(1,0))=\omega^{\varepsilon_0 \times 2}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1))=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}\)
\(\varphi(0,\varphi(0,\varphi(0,\varphi(1,0)+1)))=\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}}\)
\(\varphi(1,1)=\varepsilon_1\)
\(\varphi(1,2)=\varepsilon_2\)
\(\varphi(1,\varphi(0,1))=\varepsilon_\omega\)
\(\varphi(1,\varphi(0,1)+1)=\varepsilon_{\omega+1}\)
\(\varphi(1,\varphi(0,1)+\varphi(0,1))=\varepsilon_{\omega \times 2}\)
\(\varphi(1,\varphi(0,2))=\varepsilon_{\omega^2}\)
\(\varphi(1,\varphi(0,\varphi(0,1)))=\varepsilon_{\omega^\omega}\)
\(\varphi(1,\varphi(1,0))=\varepsilon_{\varepsilon_0}\)
\(\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0)))=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\)
\(\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0))))=\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}}\)
\(\varphi(2,0)=\zeta_0\)

(有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層[]

(有限)多変数ヴェブレン関数とそれに付随する基本列系による階層は以下のように定義される。

(有限)多変数に拡張されたヴェブレン関数[]

有限個の引数を取るようにヴェブレン関数を拡張する。そのためにまず、今までのヴェブレン関数\(\varphi_\alpha(\gamma)\)を2変数関数\(\varphi(\alpha,\gamma)\)として考える。

\(z\)を空列または1個以上の0の列 \(0,0,...,0\)、\(s\)を空列または順序数の列で先頭が非零のもの \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\;(\alpha_1>0)\)とする。
\(\varphi(s,\alpha,z,\gamma)\)と書かれているとき、\(s\)と\(z\)がともに空列ならばそれは2変数関数\(\varphi(\alpha,\gamma)\)を表していることに注意する。

拡張されたヴェブレン関数は以下のように定義される^[2]：

\(\varphi(\gamma)=\omega^\gamma\),
\(\varphi(z,s,\gamma)=\varphi(s,\gamma)\),
\(\alpha_{n+1}>0\)のとき、\(\varphi(s,\alpha_{n+1}, z, \gamma)\) は\(\beta<\alpha_{n+1}\)について共通の不動点 \(\xi = \varphi(s, \beta, \xi,z)\)となる\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

小ヴェブレン順序数(SVO)より小さなすべての非零順序数\(\alpha\)は、以下のような条件を満たす正規形に書き表すことができる：

\( \alpha=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)\)

ただし

\(\varphi(s_1)\geq\varphi(s_2)\geq\cdots\geq\varphi(s_k)\),
\(s_m\) は順序数の有限列 \(\alpha_{m,1}, \alpha_{m,2},...,\alpha_{m,n_m}\),
\(m \in \{1,...,k\}\)および\(i \in \{1,..,n_m\}\)について、\(\alpha_{m,1}>0\) かつ \(\alpha_{m,i} <\varphi(s_m)\),
\(k\)は非負整数、\(n_1,...,n_k\)は正の整数（\(k=0\)の場合とは\(\alpha=0\)の場合である）.

(有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層の極限順序数に対する基本列[]

有限変数ヴェブレン関数で正規形表記された極限順序数\(\alpha<SVO\)に対して、基本列を以下で定める：

2.1) \((\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k))[n]=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)[n]\),

2.2) \(\gamma\geq1\)に対して、

\(\gamma\)が後続順序数\(\gamma=\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(\gamma'+1)[n]=\varphi(\gamma')\cdot n\)
\(\gamma\)が極限順序数のとき、\(\varphi(\gamma)[n]=\varphi(\gamma[n])\)

2.3) \(\beta\)が後続順序数\(\beta=\beta'+1\)かつ\(\gamma=0\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)\)に対して、

\(\varphi(s,\beta'+1,z,0)[0]=0\)
\(\varphi(s,\beta'+1,z,0)[n+1]=\varphi(s,\beta',\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma)[n],z)\)

2.4) \(\beta,\gamma\)がいずれも後続順序数\(\beta=\beta'+1,\gamma=\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)\)に対して、

\(\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[0]=\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma')+1\)
\(\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[n+1]=\varphi(s,\beta',\varphi(s,\beta'+1,z,\gamma'+1)[n],z)\)

2.5) \(\gamma\)が0でない極限順序数のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])\)

2.6) \(\beta\)が0でない極限順序数で\(\gamma=0\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,0)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,0)\)

2.7) \(\beta\)が0でない極限順序数で\(\gamma\)が後続順序数\(\gamma'+1\)のとき、\(\varphi(s,\beta,z,\gamma'+1)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma')+1,z)\)

例[]

\(\varphi(1,0)[n]=\underbrace{\varphi(0, \varphi (0, ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0)...))=\underbrace{\varphi(\varphi(...\varphi}_{n \quad \varphi's}(0)...))=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega^0}}}}_{n\;\omega's}\),

\(\varphi(1,0,0)[n]=\underbrace{\varphi(0, \varphi (0, ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0,0)...,0),0)=\underbrace{\varphi( \varphi ( ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(0,0)...,0),0)\),

\(\varphi(1,1,1,0,0,0)[n]=\underbrace{\varphi(1,1,0,\varphi(1,1,0 ... \varphi}_{n \quad \varphi's}(1,1,0,0,0,0)...,0,0),0,0)\).

Γ関数[]

Γ関数は、\(\varphi(\alpha,0)=\alpha\)を満たすような\(\alpha\)を数え上げる関数である。言い換えると\(\Gamma_\beta=\varphi(1,0,\beta)\)であり、順序数のクラス\(\{\alpha\ |\ \varphi(\alpha,0)=\alpha\}\)を0番目から数えて\(\beta\)番目の順序数であるともいえる。
上記基本列の定義を用いて、\(\Gamma_\beta[n]=\varphi(1,0,\beta)[n]\)と定義できる。

超限変数に拡張されたヴェブレン階層[]

超限変数ヴェブレン関数とそれに付随する基本列系による階層は以下のように定義される。

超限変数に拡張されたヴェブレン関数[]

多変数ヴェブレン関数の定義をさらに拡張して、「α-番目の引数」を導入することを考える。もちろんただ引数を並べただけでは(有限)多変数と区別がつけられないため、ここでシュッテの括弧表記(Schutte Klammersymbolen)と呼ばれる表記を導入する。
これは2行n列の行列で、1行目が各引数の値を、2行目が各引数の位置を示すものとして表記される。

例： \(\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\8 & 5 & 0 \end{pmatrix}=\varphi(\alpha_1,0,0,\alpha_2,0,0,0,0,\alpha_3)\).

このとき、ヴェブレン関数の定義は以下のように拡張される：

\(\begin{pmatrix}\gamma\\0\end{pmatrix}=\omega^\gamma\)
\(\begin{pmatrix}0 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_0 & \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n\end{pmatrix}\)
\(\alpha_1>0\)とする。このとき、\(\gamma\)の関数\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0\end{pmatrix}\)は、\(\alpha'<\alpha_1\)について共通の不動点 \(\xi=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & \xi \\ \cdots & \beta+1 & \beta\end{pmatrix}\)である\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。
\(\alpha_1>0\)かつ\(\beta\)は極限順序数とする。このとき、\(\gamma\)の関数\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha_1 & \gamma \\ \cdots & \beta & 0\end{pmatrix}\)は、任意の\(\alpha'<\alpha_1\)と\(\beta'<\beta\)について共通の不動点 \(\xi=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha' & \xi \\ \cdots & \beta & \beta'\end{pmatrix}\)となる\(\xi\)を0番目から数え上げる関数。

\(\alpha=\begin{pmatrix}1 \\ \alpha\end{pmatrix}\)が成立する最小の順序数を大ヴェブレン順序数\(LVO\)と呼ぶ。

順序数\(\alpha<LVO\)の正規形は以下のようになる：

\(\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}\),

ただし

\(\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix} \geq \cdots \geq \begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}\),
すべての\(i \in \{1,...,n_m\}\), \(m \in \{1,...,k\}\)に対して\(\alpha_{m,i}<\begin{pmatrix} \alpha_{m,1} & \cdots &\alpha_{m,n_m} \\ \beta_{m,1} & \cdots & \beta_{m,n_m} \end{pmatrix}\)
すべての\(i \in \{1,...,n_m\}\), \(m \in \{1,...,k\}\)に対して\(\beta_{m,i}<\begin{pmatrix} \alpha_{m,1} & \cdots &\alpha_{m,n_m} \\ \beta_{m,1} & \cdots & \beta_{m,n_m} \end{pmatrix}\)
\(k\)は非負整数、\(n_1,...,n_k\) は正整数。

超限変数に拡張されたヴェブレン階層の極限順序数に対する基本列[]

\(\alpha<LVO\)が極限順序数かつ正規形表示されているとき、その基本列は以下のようになる：

\(\alpha[n]=\begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \cdots &\alpha_{1,n_1} \\ \beta_{1,1} & \cdots & \beta_{1,n_1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{2,n_2} \\ \beta_{2,1} & \cdots & \beta_{2,n_2} \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} \alpha_{k,1} & \cdots &\alpha_{k,n_k} \\ \beta_{k,1} & \cdots & \beta_{k,n_k} \end{pmatrix}[n]\)

3.0) \(\begin{pmatrix}\alpha \\ 0\end{pmatrix}[n]=\omega^\alpha[n]\)

3.1)

\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[0]=0\)
\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n+1]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\),

3.2)

\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[0]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}+1\)
\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n+1]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n] \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\),

3.3) \(\gamma\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma [n] \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}\)

3.4) \(\alpha\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] & \\ \cdots & \beta+1 \end{pmatrix}\)

3.5) \(\alpha\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma+1 \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta+1 & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta+1 & \beta \end{pmatrix}\)

3.6) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1\\ \cdots & \beta\end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & 1 \\ \cdots & \beta& \beta [n]\end{pmatrix}\)

3.7) \(\beta\)が0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma+1 \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \begin{pmatrix}\cdots & \alpha+1 & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta[n] \end{pmatrix}\)

3.8) \(\alpha,\beta\)が共に0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha\\ \cdots & \beta\end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n] \\ \cdots & \beta \end{pmatrix}\)

3.9) \(\alpha,\beta\)が共に0でない極限順序数のとき、\(\begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma+1 \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}[n]=\begin{pmatrix}\cdots & \alpha [n]& \begin{pmatrix}\cdots & \alpha & \gamma \\ \cdots & \beta & 0 \end{pmatrix}+1 \\ \cdots & \beta & \beta [n] \end{pmatrix}\)

\(LVO\)の基本列は以下で定まる：

\(LVO[0]=0\),
\(LVO[n+1]=\begin{pmatrix}1 \\ LVO[n] \end{pmatrix}\).

出典[]

↑ Veblen, Oswald. Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals. Retrieved 2017-03-16.
↑ Maksudov, Denis. Fundamental sequences for extended Veblen function. Traveling To The Infinity Retrieved 2017-10-02.

[1] Veblen, Oswald. Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals. Retrieved 2017-03-16.

[2] Maksudov, Denis. Fundamental sequences for extended Veblen function. Traveling To The Infinity Retrieved 2017-10-02.

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