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レイバーのテーブル

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6th Laver table.gif

白黒のビットマップで表したサイズ 6 のレイバーのテーブル

レイバーのテーブルは急成長する関数をもたらす整数が配列されたテーブルである[1]。\(n \geq 0\) の時、 サイズ n のレイバーのテーブルは \(\mathbb{Z}_{2^n}\) ( \(1,2,3,\ldots 2^n\) の整数) の中で定義された二項演算子 \(\star\) であり、これは以下を満たす。

\[a \star 1 = a + 1 \pmod{2^n}\] \[a \star (b \star c) = (a \star b) \star (a \star c)\]

(後者の条件は "self-distributive"(自分自身での分配法則[2]) を意味すると解釈される)

関数\(a \mapsto 1 \star a\)の周期は\(n\)の関数になる。これを私たちは\(p(n)\)と表している。\(p(n)\)の最初のいくつかの値は \(1, 1, 2, 4, 4, 8, 16, 16, 16, 16, \ldots\) (OEIS A098820)となる。まるで成長が遅い関数であるように見える。しかしながら、\(p\)は引数が無限に大きくなっていく時にとても速く発散する可能性がある。この問題は階層内階層基数が存在するかどうかに依存している。これは知られている中での最大の基数の一つである。どのように関係しているのかといえば、階層内階層基数が存在することがZFC集合論の中で証明することが出来るのならば、レイバーのテーブルの増加速度は遅く、証明できないならばレイバーのテーブルの増加関数はとてもなく速いという関係があることがわかっている。

\(p(q(n)) = 2^n\)を満たす最小限の数を返す関数\(q\)を定義し、これを\(p\)の擬似的な逆関数と呼ぶ。\(q\) is a fast-growing function that is total iff \(p\) is divergent. The first few values of \(q\) are \(0, 2, 3, 5, 6\). The existence of \(q(5)\) has not even been confirmed, but if it does exist, it is at least \(A(9,A(8,A(8,255)))\). Given the strength of the system supporting it, the hypothetical \(q(6)\) may be greater than TREE(3), SCG(13), or even Loader.c.


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サイズ2 編集

サイズ2のテーブルを下に示す。

1 2 3 4
1 2 4 2 4
2 3 4 3 4
3 4 4 4 4
4 1 2 3 4

1行目の内容は、周期2で繰り返すので、\(p(2) = 2\)となる。

サイズ3 編集

サイズ3のテーブルを下に示す。

1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 4 6 8 2 4 6 8
2 3 4 7 8 3 4 7 8
3 4 8 4 8 4 8 4 8
4 5 6 7 8 5 6 7 8
5 6 8 6 8 6 8 6 8
6 7 8 7 8 7 8 7 8
7 8 8 8 8 8 8 8 8
8 1 2 3 4 5 6 7 8

1行目の内容は、周期4で繰り返すので、\(p(3) = 4\)となる。

出典 編集

  1. Goucher, Adam. Large cardinalsComplex Projective 4-Space  Retrieved 2013-12-20.
  2. これを満たす集合をRankと呼ぶ。

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