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次のように定義された関数に関する質問がフォーラムに投稿されていた:

[a,b,c]=[a,b[a+1,b-1,c-1],c-1]
[a,0,0]=a
[a,b,0]=a+b
[a,0,b]=a^b

質問は次のようなものである:

[4,4,4],[5,5,5],[6,6,6]はそれぞれどれくらいの大きさか?

[[9,9,9],[9,9,9],[9,9,9]]はマシモスケールで言うといくつか?

[4,4,4]に関しては、コンピューターで計算すると一瞬で答えが出た:

+                                                                                                  3 9351099336
  9072041336 7241220996 1694004953 1026814952 0596369134 8122129956 3765040193 2509332811 2381933108 4945211448
  7758261309 9707068263 8460915272 4495756932 8496481066 9212090315 7913294519 3867059111 3670204526 2296767761
  3872284191 9751569653 9979149745 8096471870 1901925073 4432496899 5019995737 5329343476 2109271753 1930060585
  9685072447 9968033629 3365855780 1656699639 6032257392 8240643859 1336726443 7951509537 9522034345 0618047361
  5825430604 2732460387 3313420331 0827031451 5298185690 1200648175 2234175158 8625543519 4717005034 6659368197
  8393545656 0226294405 4274257474 0157401376 7420854125 1170684058 7113962091 6516480163 3152801303 4823657201
  9230821846 3701678017 9819060499 6585824616 2807302005 6768279416 2233184203 5361476034 1170372784 1631031645
  1196472729 0409605321 3744256387 9694536653 9084743947 6525248448 3303892053 4008085636 2009918135 7431566283
  1479904650 8326494758 2881477119 8387955909 3495828208 7723156782 3568647110 1355454429 5690770831 9066185444.

なお、この数は911ケタである。

また、[5,5,5]も、コンピューターで一瞬で出た:

+2.7600299505 9423992100 9690360506 8562808707 4064084361 3448343639 0177951078 1759927641 0433363102 2764961034
   2373949921 1065429251 8270772240 1619095310 5102576775 5346905842 1900946575 5864097376 3812588747 9753618789
   7464889854 8683379933 6644265275 8655891352 5256992460 3716233946 5588654976 8721651275 8807806775 4193888826
   7140075959 0779353002 1253212299 8527716454 8676050579 5182022603 2218578227 5215131558 0686458816 8325480780
   7822445300 2263281794 1243052627 0894832549 5467539495 0853658134 8961948125 8651688834 7395152250 5118403595
   3275416016 0207725597 1753353070 3491249299 6363845690 1454521761 4667575343 2339289415 7262996064 0689164534
   2586809443 1436202965 2109950720 7989670078 1498355036 4450168882 5652647801 5488241732 1276395706 5764582900
   3903116007 4380756450 0632934453 4516831892 9546107208 0186979707 3474135481 0319804586 9097142488 2438603229
   7251538270 8753315927 3694661797 7127684377 9536565328 9355971424 9750710604 8475735223 3016295920 2391231048
   8678881807 1180474855 2940200806 9045066711 2617361870 1797584411 4965760531 3934279388 2708820283 9849182622

e1740770

次の[6,6,6]であるが、コンピューターに計算させるとバグが生じた(「6」と答えた)ため、少しずつ計算していくことにする。

[6,6,6]=[5,6[7,5,5],5]で、6[7,5,5]=1.8950749033e1817270であるから、[5,x,5]が推定できればよい。

その結果を以下に示す。横軸がxで、縦軸が[5,x,5]の常用対数である。

-5,x,5-

つまり、十分大きいxについて[5,x,5]=10^{5318787ln(x)-2476051}であると推定できる。




5318787*log(1.8950749033*10^1817270)-2476051=22256033303558であるから、

[6,6,6]=10^22256033303558であると推定できる。

([5,x,5]の推定が正確でない可能性があります)

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