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マシモ関数の区切り目の計算

Nayuta Ito 2016年7月27日 User blog:Nayuta Ito

需要があるかどうかは分かりませんが、もしかしたら「寿司虚空編的なもの」を作る上での参考資料になるかもしれないので。


マシモスケールは13個あるので、それらの区切り目を小さい方から順にM_1M_{12}と呼ぶことにする。

M_1

M_1は、10^{10x}=^{x\over 5}eの解xをマシモスケールに持つ巨大数であり、コンピュータを使った数値計算によりx≒17.927,M_1≒1.85×10^179という近似値を得ることが出来る。

M_2

マシモスケールによると、M_2はM(46)とM(47)の間にある。

整数部分

e↑↑(46/5)≒E12.547#7, e↑↑(47/5)≒E36.647#7である。

H(2↑↑(46/20),2)<H(5.1,2)だが、ここで次のような図を使う。

        5   5.1    6    //5.1は5と6の間
      w^w+1 (2) w^w+w //それぞれを2進遺伝的記法で表した
      w^w   (3) w^w+1  //ハーディー階層の定義に従い底を1増やした
       27   27.1   28   //H関数の定義におけるx,x+r(y-x),y
 /* よってH(5.1,2)=H(27.1,3) */
       w^w   (3)    w^w+1
 w^2*2+w*2+2 (4)     w^w
      42     63.4    256

よって、H(5.1,2)<H(64,4)=H_{\omega^3}(4)=f_{3}(4)=f_2^4(4)=64*2^{64}*2^{64*2^{64}}*2^{64*2^{64}*2^{64*2^{64}}}

<10^{100}*10^{10^{100}}*10^{10^{100}*10^{10^{100}}}

<10^{10^{101}}*10^{10^{100}*10^{10^{100}}}

<10^{10^{101}}*10^{10^{100}*10^{10^{100}}}

<10^{10^{100}*10^{10^{100}}+2}

<10^{10^{101}*10^{10^{100}}}

<10^{10^{10^{101}}}

\ll E12.547\# 7 = e \uparrow \uparrow \frac{46}{5}

すなわち、M_2>M(46)

H(2↑↑(47/20),2)>H(5.3,2)であるから、上の図を使いまわすと、

        5   5.3    6    //5.3は5と6の間
      w^w+1 (2) w^w+w //それぞれを2進遺伝的記法で表した
      w^w   (3) w^w+1  //ハーディー階層の定義に従い底を1増やした
       27   27.3   28   //H関数の定義におけるx,x+r(y-x),y
 /* よってH(5.3,2)=H(27.3,3) */
       w^w   (3)    w^w+1
 w^2*2+w*2+2 (4)     w^w
      42     106.2    256

よって、H(5.3,2)>H(96,4)=H_{\omega^3+\omega^2 2}(4)=f_3(f_2(f_2(4)))=f_3(64*2^{64})

\gg 2\uparrow\uparrow 64\gg 10\uparrow\uparrow 9 > E36.647\#7=e\uparrow\uparrow \frac{47}{5}

すなわち、M_2<M(47)

小数第一位

上と同様の計算により、H(88,4)<H(2\uparrow\uparrow(46.5/20),2)<H(89,4)がわかる。

H(88,4)=H_{\omega^3 + \omega^2 +\omega2}(4)=f_3(f_2(f_1^2(4)))=f_3(16*2^{16})> 2\uparrow\uparrow2^{20} \gg10\uparrow\uparrow9であるから、

M_2<M(46.5)がわかる。

同様にして、H(71,4)<H(2\uparrow\uparrow(46.25/20),2)<H(72,4)より

H(71,4)=H_{\omega^3 + \omega +3}(4)=f_3(f_1(7))=f_3(14)> 2\uparrow\uparrow14 \gg10\uparrow\uparrow9であるから、

M_2<M(46.25)がわかる。

ここで、f_2(x)=2^x x<2^2x2*2^{2x}+2=2^{2x+1}+2<2^{2x+2}より、

f_2^1(x)<2^{2x}, f_2^2(x)<2^{2*2^{2x}}=2^{2^{2x+1}} ,f_2^3(x)<2^{2^{2^{2x+2}}}であるから、

f_3(x)<E[2](2x+2)\#x

よって、

H(66,4)<H(2^^(46.1/20),2)<H(67,4)

H(67,4)=H_{\omega^3 +3}(4)=f_3(7)<E[2]16\#7=E[2]65536\#6<E[2]10^{10}\#6<10\uparrow\uparrow8

e↑↑(46.1/5)=E14.050#7=E1.1477#8>10↑↑8であるから、

H(2^^(46.1)/20)<H(67,4)<e↑↑(46.1/5)が成り立つので、

M_2>M(46.1)

以上より、M_2のマシモスケールは有効数字3ケタで46.1となり、実際の大きさはE14.050#7とE15.353#7の間にある。(Eの後の数字が14か15かを特定するにはもう少し精密な計算が必要)

M_3

マシモスケールによると、M_3はM(71)とM(72)の間にある。

3番目と4番目の関数は引数がそれぞれ2と3で異なるが、H_{\alpha+1}(2)=H_{\alpha}(3)が成り立つため、この違いは無視できると考えられる。

整数部分

マシモスケールによると、M_3はM(71)とM(72)の間にある。以下でこのことを証明する。

M_3(x)=H(^{x/20} 2,2), M_4(x)=H(^{H(x-70,2)} 3,3)と定義する。

H関数の定義より、[x/20]<[H(x-70,2)]のとき、M_3(x)<M_4(x)が成り立つ。不等号の向きを逆にしても同様のことが成り立つ。

M_3(71)=H(2↑↑3.55,2)=H(109.04,2)>H(109,2)=H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega} + \omega^{\omega^{\omega}+1} + \omega^{\omega+1} + \omega^{\omega}+1 }(2)>H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3)

M_4(71)=H(3↑↑3,3)=H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3)

よってM_3>M(71)

M_3(72)=H(2↑↑3.6,2)=H(152.97,2)<H(153,2)=H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega+1} + \omega^{\omega^{\omega}} + \omega^{\omega+1}+1 }(2)

M_4(72)=H(3↑↑4,3)=H_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}(3)

ここで、

H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega+1} + \omega^{\omega^{\omega}} + \omega^{\omega+1}+1 }(2)

=H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega+1} + \omega^{\omega^{\omega}} + \omega^{\omega+1} }(3)

<H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega+1}*2}(3)

<H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega+2}}(3)

<H_{ \omega^{\omega^{\omega+1}}}(3)

<H_{ \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}(3)

M_3(72)<M_4(72)

であるから、M(71)<M_3<M(72)


小数第一位

M_3(71.1)<H(113,2)=H_{ \omega^{\omega^{\omega}+\omega} + \omega^{\omega^{\omega}+1} + \omega^{\omega^{\omega}}+1}(2)

M_4(71.1)>H(148725099627381006127,3)>H(3^{42},3)=H_{ \omega^{ \omega^{\omega}+\omega^2+\omega2 } }(3)

よってM_3(71.1)<M_4(71.1)であるから、

M(71.0)<M_3<M(71.1)


(まだ私はψ関数を知らないのでM_6以降の計算ができない。多分マシモスケールの小数点以下は全て0か9だろう。)

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