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SS変換の明示的な表記について

Mikadukim 2015年12月21日 User blog:Mikadukim

ふぃっしゅ数バージョン1バージョン2で使われるSS変換を, 自分が見やすいと思う書き方で表示してみます. 書き方を変えただけなので新しい内容は何もないです, 念のため.  間違っていたら指摘していただけると助かります.

準備

  • 0以上の整数を「数」, 数全体から数全体への写像を「関数」, 関数全体から関数全体への写像を「変換」と呼ぶことにする. S変換は変換の一例である.
  • 変換 \(S\) に対して, 新たな変換 \( S^* \)を次で定義する.

\[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x). \]

SS変換の定義

「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」から「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」への写像 SS を以下のように定義し, SS変換と呼ぶ.

バージョン1のSS変換

\( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, S^{f(m)}f,\, S^{f(m)}) \).

バージョン2のSS変換

\( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \).

ふぃっしゅ数の定義

SSをバージョンiのSS変換とする(i=1,2). 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を, \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) は S変換 とするとき, \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をバージョンiのふぃっしゅ数, 第2成分をバージョンiのふぃっしゅ関数と定義する.

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