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ふぃっしゅ数バージョン3の書き換え

Mikadukim 2016年6月20日 User blog:Mikadukim

ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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