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  • Mikadukim

    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。

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  • Mikadukim

    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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  • Mikadukim

    ふぃっしゅ数バージョン1とバージョン2で使われるSS変換を, 自分が見やすいと思う書き方で表示してみます. 書き方を変えただけなので新しい内容は何もないです, 念のため.  間違っていたら指摘していただけると助かります.


    • 0以上の整数を「数」, 数全体から数全体への写像を「関数」, 関数全体から関数全体への写像を「変換」と呼ぶことにする. S変換は変換の一例である.
    • 変換 \(S\) に対して, 新たな変換 \( S^* \)を次で定義する.

    \[ (S^* f)(x) = (S^x f)(x). \]


    「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」から「(数, 関数, 変換)の3つ組全体の集合」への写像 SS を以下のように定義し, SS変換と呼ぶ.


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, S^{f(m)}f,\, S^{f(m)}) \).


    \( SS(m, f, S) = ((S^{f(m)}f)(m),\, (S^{f(m)})^* f,\, S^{f(m)}) \).


    SSをバージョンiのSS変換とする(i=1,2). 3つ組 \((m_0, f_0, S_0)\) を, \(m_0 =3\), \(f_0(x)=x+1\), \(S_0\) は S変換 とするとき, \[ SS^{63}(m_0, f_0, S_0)\] の第1成分をバージョンiのふぃっしゅ数, 第2成分をバージョンiのふぃっしゅ関数と定義する.

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  • Mikadukim

    SS変換を使わずS変換のみを用いて、ふぃっしゅ数ver1に期待されているのと同じ程度の大きさの巨大数が作れる、というお話です。 "補正型ふぃっしゅ数ver.1" \(F'_1\) は \(F'_1 < F_1\) かつ \(\mathrm{Ack}(1,0,1,63) < F'_1

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