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    一般化急増加関数

    2017年7月16日 by Mikadukim
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    A(1,0,1,63) ≦ F_1 ≦ A(1,0,1,64) の証明についてです。

    内容は Dropbox にあります。たぶん合ってると思うのですが、細かい証明はやっていないので査読してくれる方がいらっしゃるとありがたいです。


    この証明はSS変換の定義を勘違いした上で行ったものなので、本来の意味でのふぃっしゅ数バージョン1の評価にはなっていません。すいません。

    SS変換の本来の定義:

    \(\ SS(m,f,T) = (T^{f(m)}(m,f), T^{f(m)}) \quad \) ただしTは(関数, 数)の組から(関数, 数)を返す写像.

    SS変換の, 自分がこうだと勘違いしていた定義:

    \(\ SS(m,f,T) = ((T^{f(m)}f)(m), T^{f(m)}f, T^{f(m)}) \quad \) ただしTは関数から関数を返す写像(いわゆる"変換").

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    急増加関数 \(f_3(n)\) をテトレーション関数 \(2\uparrow\uparrow n\) で上下から評価しました. (下からの評価はすでに知られているが, 上からの評価が知られているかわからなかったため.)

    同様に \(f_m(n)\) を \(2\uparrow^{m-1} n\) で上下から評価することが期待されます.


    \begin{align*} 2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n) \le 2\uparrow\uparrow(2n) \quad(n\ge2). \end{align*}

    ただし \(f_3(n)\) は急増加関数.


    \(f_3(n)\) は急増加関数の定義より,

    \begin{align*} f_3(n) = f_2^n(n),\quad f_2(n) = 2^n n \end{align*} と計算できるのだった(寿司虚空編第6話 などを参照).


    最初の不等号 \(2\uparrow\uparrow (n+1) \le f_3(n)\) を帰納法で示そう. \(n=2\) のとき,

    \begin{align*} f_3(2) = f_2^2(2) = 2^{2^2 \cdot 2} \cdot 2^{2} \cdot 2 \ge 2^{2^2} = 2 \uparrow \uparrow 3 \end{align*}

    より不等号は成立.

    \(n = k \ge 2 \)のとき不等号が成り立つと仮定する. \(n = k+1 \) のとき, 

    \begin{align*} f_3(k+1) = f_2^{k+1}(k+1) = f_2(f_2^{k}(k+1)) = 2^{f_2^{k}(k+1)} f_2^{k}(k+ ……




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    ふぃっしゅ数バージョン3 の定義に出てくる写像 \(s(n)\) と \(ss(n)\) を少し見やすく書き換えます. あまり本質的な話ではないです.

    この記事では, 自然数全体から自然数全体への写像を関数と呼ぶ. 関数全体から関数全体への写像を変換と呼ぶ.

    関数 \(f\) に対して, 関数 \(f^*\) を \(f^*(x) = f^x(x)\) で定義する.

    変換 \(T\) に対して, 変換 \(T^*\) を \((T^*f)(x) = (T^x f)(x)\) で定義する.

    この \(*\) を用いると, ふぃっしゅ数バージョン3におけるs(n)変換, ss(n)変換は次のように表せる. \begin{align*} s(1) f &= f^*, \\ s(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2), \\ (ss(1)f)(x) &= (s(x)f)(x), \\ ss(n) &= s(n-1)^* \quad (n \ge 2). \end{align*}

    あとは同じです. ふぃっしゅ数バージョン3を, \begin{align*} F_3 = (ss(2)^{63}f_0)^{63}(3), \quad f_0(x) = x+1 \end{align*} で定める.

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