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F 1補正型文字起こし

最近本当に活動できていないのですが、とりあえず表題の件について。

ユーザーブログ:Mikadukim/ふぃっしゅ数ver.1の補正型についての画像部分を文字起こしします。これは Mikadukim さんが「数式を打ち込む気力がないのでとりあえず手書きスキャンで」と仰っているので代行しているだけであり、よければ先のブログのほうに移すなどしてご活用ください。

1 枚目

自然数列 \(n_0, n_1, n_2, \cdots\) を,
\(n_0 = 3, ~ n_{k+1} = (S^{n_k}f)(n_k)\) で定める.
但し \(S\) は S変換,\(f\) は \(f(x) = x+1\).

主張

\(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k=0, 1, 2, \cdots)\)
特に \(F_{1}' := n_{63}\) とおくと,\(A(1, 0, 1, 63) \leqslant F_{1}' \leqslant A(1, 0, 1, 64)\).

証明

\(A\) をアッカーマン関数とするとき,\((S^k f)(x) = A(k, 0, x)\).

\(A(1, 0, 1, 0) = 3, ~ A(1, 0, 1, 1) = A(3, 0, 3) > 3\)
だから \(k = 0\) のときは O.K.

\(A(1, 0, 1, k) \leqslant n_k \leqslant A(1, 0, 1, k+1) ~ (k \geqslant 0)\) が成り立っていると仮定するとき,

\begin{align} n_{k+1} =& (S^{n_k}f)(n_k) \\ =& A(n_k, 0, n_k) \\ =& A(1, 0, 0, n_k) \end{align}

だから,仮定より,

\begin{array}{c} A(1, 0, 0, A(1, 0, 1, k)) & \leqslant n_{k+1} \leqslant & A(1, 0, 0, A(1, 0, 1, k+1)) \\ \parallel & & \parallel \\ A(1, 0, 1, k+1) & & A(1, 0, 1, k+2) \end{array}

ゆえに帰納法から,全ての \(k \geqslant 0\) に対して主張の式が成立する.

90 度回転したイコールを MathJax で実現できるか調べてもわからなかったので、見た目の似た記号を使用しています。良くないことですが、とりあえず紙の内容を再現するのが目的ということでこのような暫定的処置をしています。

2 枚目

\((m_0, f_0, S_0) = (3, x+1, S変換)\) とおく.

SS変換 “補正SS変換”

\begin{align} SS&(m, f, S) \\ = &(n, g, T) ,\end{align} 但し \begin{cases} T = S^{f(m)} \\ g = T f \\ n = g(m) .\end{cases}

\begin{align} SS'&(m, f, S) \\ = &(n, g, T) ,\end{align} 但し \begin{cases} T = S_0^{f(m)} \\ g = T f_0 \\ n = g(m) .\end{cases}

\begin{align} (SS')^k(m_0, f_0, S_0) \\ = (m_k, f_k, S_k) ,\end{align}

とおくとき, m_k は

\begin{cases} m_0 =& 3 \\ m_{k+1} =& (S_0^{m_k}f_0)(m_k) \end{cases}

で定まる.

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