FANDOM


グッドスタイン数列と超限帰納法について、『数学基礎論講義』にあった記述をまとめておきます。

グッドスタイン数列の取り方は通常の通りなのですが、そこから FGH へと持っていくために下準備がなされています。

次のようなものを定義します。

順序数 \(\alpha\) の表記のなかに現れる、すべての \(\omega\) を \(x + 1\) に替えたものを \(G_x(\alpha)\) とおく。

さらに「順序数から 1 を引く」ことを意味する関数 \(P_x\) を次のように定義する。

\begin{eqnarray*} P_x(0) &=& 0 \\ P_x(\alpha + 1) &=& \alpha \\ P_x(\alpha) &=& P_x(\alpha[x]) (ただし \alpha 極限順序数) \end{eqnarray*}

ここから、\(G_x(P_x(\alpha)) = G_x(\alpha) - 1\) であるとしています。これはグッドスタイン数列の特性の説明のためのものなので、そう考えると自明だと思うのですが、とりあえず例として \(x = 3, \alpha = \omega^{\omega}\) の場合を書き下してみます。左辺は、

\begin{eqnarray*} G_3(P_3(\omega^{\omega})) &=& G_3(P_3(\omega^3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 2 + \omega \times 3)) \\ &=& G_3(P_3(\omega^2 \times 2 + \omega \times 2 + 3)) \\ &=& G_3(\omega^2 \times 2 + \omega \times 2 + 3 - 1) \\ &=& 3^2 \times 2 + 3 \times 2 + 2 \\ &=& 26 \end{eqnarray*}

となり、また右辺は

\begin{eqnarray*} G_3(\omega^{\omega}) - 1 &=& 3^3 - 1 \\ &=& 27 - 1 \\ &=& 26 \end{eqnarray*}

となるため、一致しますね。

超限帰納法の実例を FGH しか知らなかったのですが、こういった使い方があるのですね。これを使って、グッドスタイン数列を順序数の下降列

\[\alpha > P_x(\alpha) > P_{x+1}(P_x(\alpha)) > \cdots\]

に対応付けることで、順序数の無限下降列は存在しないことから、グッドスタイン数列は必ず収束するということを証明しています。ここまでは本題ではないので、詳しくは本書をご覧ください。

この次に「急増加関数」というものが登場します。定義は以下の通りです。

\begin{eqnarray*} F_0(x) &=& x + 1 \\ F_{\alpha+1}(x) &=& F_{\alpha}^{x+1}(x) \\ F_{\lambda}(x) &=& F_{\lambda[x]}(x) (ただし \lambda は極限順序数) \end{eqnarray*}

巨大数論』に記載されているものと比べて多少の違いはありますが、本質的な部分は FGH です。ここから本書は 4 ページほど、関数が関数を支配するとは何か、といった、巨大数論においては最も重要な部分の説明を続けています。ヒドラゲームの話などもこれらの前に記述されており、そこから作る巨大関数と極限順序数の対応付けもやっていますね。

広告ブロッカーが検出されました。


広告収入で運営されている無料サイトWikiaでは、このたび広告ブロッカーをご利用の方向けの変更が加わりました。

広告ブロッカーが改変されている場合、Wikiaにアクセスしていただくことができなくなっています。カスタム広告ブロッカーを解除してご利用ください。

FANDOMでも見てみる

おまかせWiki