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「対角化と支配する」のエントリのコメント欄におけるふぃっしゅっしゅさんとの議論についてです。とりあえず引用します。

まずはふぃっしゅっしゅさんから。

よく考えると必ずしも対角線でなくても良くて、下に降りて行くだけでいいのですね。つまり、必ずしも対角化しなくても「変数化」したり、下方向へ操作を「数え上げ」すればいいと、そういうことです。

次に私です。

私は今回ちょっといっぱいいっぱいで書いていて、「やっぱり対角化しないといけないな」と再確認した部分もあったつもりだったのですが、そうですね、確かに下にさえ行けば充分ですね。今びっくりしています。

今は、どの関数をどの関数が支配しているのかということが、どうやら巨大数の大きさについての本質的な理解に繋がるようだと考えています。ここまで来るのに銅蟲さんと同じ話を何度もぐるぐる続けていました。

そして再びふぃっしゅっしゅさん。

対角線ではなくて下へ降りればいいというのは、たしか巨大数スレッドの誰かに指摘されてはじめて「なるほど」と納得したことで、それまでは対角線論法が頭にあったのですが、対角線じゃなくてもいいなら数え上げの方が本質なのかな、となったわけです。巨大数論では、28ページの一番下の方で、「これは対角線ではありませんが関数の合成回数を数え上げています。」と、その違いを明確化したつもりです。

この文脈において重要なのは、「数を大きくするために右方向へ移動する(引数の数をでかくする)必要があるのか」ということですね。前回のエントリにある以下の書き下しが役立つと思います。

\begin{eqnarray*} f_{\omega \times 2}(3) &=& f_{(\omega + \omega)[3]}(3) \\ &=& f_{\omega + 3}(3) \\ &=& f_{\omega + 2}^{3}(3) \\ &=& f_{\omega + 1}^{27}(3) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987}(3) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-1}(f_{\omega}(3)) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-1}(f_{\omega[3]}(3)) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-1}(f_{3}(3)) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-1}((2^{402653184})402653184) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-2}(f_{\omega}((2^{402653184})402653184)) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-2}(f_{\omega[(2^{402653184})402653184]}((2^{402653184})402653184)) \\ &=& f_{\omega}^{7625597484987-2}(f_{(2^{402653184})402653184}((2^{402653184})402653184)) \\ && \vdots \\ \end{eqnarray*}

よく見るとわかるのですが、特に最後の \(f_{(2^{402653184})402653184}((2^{402653184})402653184)\) において、引数と関数の強さの両方が増大しています。

巨大数研究室にある「ゼミの成果」ページの「アッカーマン関数について」という証明の書き下しからも同様のものを見て取ることができますが、「より下位の増加程度の関数を利用して、それを数え上げることで大きくする」ことが非常に重要です。そしてその「より下位の増加程度の関数を利用する」には、その「より下位の増加程度の関数」の計算結果の巨大数を引数で受け取り、それによってどんどん数え上げの回数を爆発させ、より上位の支配階層を定義することになります。よって、やはり引数も大きくなっていくのだと解釈すべきだと理解しました。

つまり、やはり対角化の概念は、巨大数の定義において存在しているということでよいと思います。また、これは「数え上げの中には対角化が含まれている」ということを意味しています。

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