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巨大数スケール関数で、\(\epsilon_0\)以上のレベルを作るために、多変数アッカーマン関数の1変数化と同様にして多変数 Veblen 階層 + ハーディー階層の1変数化をしてみます。ここでは、3進数で展開してみます。

\[V(\sum_{k=0}^{n} 3^k a_k) = H_{\phi(..., a_3, a_2, a_1, a_0)}(3) \]

ここで採用する Veblen 階層の基本列については、以下の計算の中で示します。

\begin{eqnarray*} V(0) &=& H_{\phi(0,0)}(3) = H_1(3) = 4 \\ V(1) &=& H_{\phi(0,1)}(3) = H_\omega(3) = 6 \\ V(2) &=& H_{\phi(0,2)}(3) = H_{\omega^2}(3) = 24 \\ V(3) &=& H_{\phi(1,0)}(3) = H_{\epsilon_0}(3) = H_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \approx A(1,0,0,0,3) \\ V(4) &=& H_{\phi(1,1)}(3) = H_{\epsilon_1}(3) = H_{\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}}(3) = H_{\epsilon_0^{\omega}}(3) = H_{\epsilon_0^3}(3) = f_{\epsilon_0 3}(3)\\ V(5) &=& H_{\phi(1,2)}(3) = H_{\epsilon_2}(3) = f_{\epsilon_1 3}(3) \\ V(6) &=& H_{\phi(2,0)}(3) = H_{\zeta_0}(3) \approx f_{\zeta_0}(3) \approx Triakulus\\ V(7) &=& H_{\phi(2,1)}(3) = H_{\zeta_1}(3) \approx f_{\zeta_1}(3)\\ V(8) &=& H_{\phi(2,2)}(3) = H_{\zeta_2}(3) \approx f_{\zeta_2}(3)\\ V(9) &=& H_{\phi(1,0,0)}(3) = H_{\Gamma_0}(3) \approx f_{\Gamma_0}(3)\\ V(10) &=& H_{\phi(1,0,1)}(3) = H_{\Gamma_1}(3) \approx f_{\Gamma_1}(3)\\ V(27) &=& H_{\phi(1,0,0,0)}(3)\\ V(81) &=& H_{\phi(1,0,0,0,0)}(3)\\ \end{eqnarray*}

補間については、極限順序数に対しては引数を減らさずに基本列で補間していって、後続順序数となったところで線形補間します。

たとえば、V(5)とV(6)の間の補間は、\(\zeta_0 = lim(0, \epsilon_0, \epsilon_{\epsilon_0}, \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}, ...)\) の基本列で、\(\epsilon_0\) はV(5)の\(\epsilon_2\) よりも小さいので採用せず、

\begin{eqnarray*} V(5.5) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_0}}(3)\\ V(6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}}(3)\\ \end{eqnarray*}

として、さらにこの間は

\begin{eqnarray*} V(5+4/6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega}}}(3)\\ V(5+5/6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega^{\omega}}}}(3)\\ V(6) &=& H_{\epsilon_{\epsilon_{\omega^{\omega^{\omega}}}}}(3)\\ \end{eqnarray*}

と分けていきます。V(3)とV(4)の間は、このようになります。

  • \(V(3+1/3) = H_{\epsilon_0+1}(3) = H_{\epsilon_0}(4) = f_{\epsilon_0}(3)\)
      • \(V(3+7/18) = H_{\epsilon_0 +\omega}(3) = H_{\epsilon_0 +3}(3) = f_{\epsilon_0}(5)\)
      • \(V(3+8/18) = H_{\epsilon_0 +\omega^{\omega}}(3) \approx f_{\epsilon_0}(3↑↑3)\)
    • \(V(3.5) = H_{\epsilon_0 2}(3) = H_{\epsilon_0 +\omega^{\omega^{\omega}}}(3) \approx f_{\epsilon_0}(A(1,0,0,0,3))\)
  • \(V(3+2/3) = H_{\epsilon_0 \omega}(3) = f_{\epsilon_0 + 1}(3)\)
    • \(V(3+5/6) = H_{\epsilon_0 ^2}(3)\)

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