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Aetonalさんとの議論で、ようやく配列表記の理解が深まり、

\begin{eqnarray*} f_{\omega^2}(n) &>& \lbrace n,n,n,n \rbrace = \lbrace n,2,1,1,2 \rbrace \approx A(1,0,0,n) \\ f_{\omega^3}(n) &>& \lbrace n,n,n,n,n \rbrace = \lbrace n,2,1,1,1,2 \rbrace \approx A(1,0,0,0,n) \\ f_{... + \omega^3 a_3 + \omega^2 a_2 + \omega a_1 + a_0}(n) &>& \lbrace n,2,a_0+1,a_1+1,a_2+1,a_3+1,... \rbrace \approx A(..., a_3, a_2, a_1, a_0, n) \\ \end{eqnarray*}

という近似にたどりついて、とりあえず日本語版の急増加関数の近似を更新しました。問題なさそうであれば、英語版も更新します。

そこで、結局のところ配列表記の2番目のエントリは、何を意味するのだろうかという疑問になります。これは合成作用素ではないかな、という気がしてきました。

多重帰納関数のエントリで書いたように、原始帰納→2重帰納→3重帰納、と数え上げるにつれて帰納の程度が上がるわけですが、そもそも原始帰納作用素は合成作用素を数え上げているわけです。合成→原始帰納→2重帰納→3重帰納と、合成作用素をスタート地点と考えて、合成の回数が配列表記の2番目に反映されている、と考えると、配列表記は FGH の +1 よりも細かく帰納の程度を見ていると考えることができます。

FGHよりも細やかな階層ということになるとハーディー階層で、FGHの+1がハーディーの×ωに相当します。順序数αに対して、α, α+α, α+α+α, … の極限がα×ωです。つまり、ハーディー階層における α+α の演算、つまり自分自身を加える合成作用素が、配列表記の2番目のエントリの正体、ということになりそうです。FGHで見ると、おおざっぱすぎて2番目のエントリをうまく表記できなかったわけです。

つまり、配列表記をハーディー階層で近似すると、

\[\lbrace n,a_0+1,a_1+1,a_2+1,a_3+1,... \rbrace \approx H_{\omega^{... + \omega^2 a_3 + \omega a_2 + a_1} a_0}(n)\]

となります。Aeton さんが気がついたように、FGHを使えば

\[\lbrace n,a_0+1,a_1+1,a_2+1,a_3+1,... \rbrace \approx f_{... + \omega^2 a_3 + \omega a_2 + a_1}^{a_0}(n)\]

とも書けます。

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