マシモ関数を考案中です。様々な関数によって、様々なレベルの巨大数が作られますが、関数によって定義される巨大数の大きさはだいたい決まって来るため、それほど大きくない巨大数から非常に大きな巨大数まで、ちょうどいい案配で作成できる関数を作成したい、というのがその主旨です。「巨大数スケール関数」としていましたが、名前を変えました。マシモ関数の記事を作成しました。
今のところ、次のような関数を考えています。適宜、このブログ記事で改訂をしていこうと思います。
\(x \ge 1\) の時、 \[M(x) = max(10^{10x}, ^{x/5}e, H(^{x/20}2,2), H(^{H(x-70,2)}3,3), \\ V(x-72), V(3^{x-80}), BHO(x-83), O(x-85), OF(x-86),\\ L(x-90), D(5(x-94),10), \\ FC(x-80), RC(x-120)) \]
\(0 \le x < 1\)の時、\(M(x) = 10^{10x}\)
\(x < 0\) の時、\(M(x) = M(-x)^{-1}\)
このように、13個の関数を max 関数でつないでいます。ここで、max 関数は引数の中で最大値を返す関数であるとします。\(M(x)\)は、\(x\)が実数の時にも定義がされる単調増加の連続関数です。テトレーションの連続関数化については、Tetration#Extension to real heights に書かれている定義を使います。
マシモスケール[]
マシモ関数は、定義域が実数で値域が正の実数の単調増加連続関数なので、正の実数 \(x\) に対して、\(M(r) = x\) を満たす \(r\) が一意に定まります。このことは、マシモ関数の逆関数を使うと、\(r = M^{-1}(x)\) と書くことができます。\(r\)の床関数を \(n\) とするとき、\(x\) はマシモスケール \(n\) である、とします。つまり、\(n = floor(M^{-1}(x))\) です。このとき、
\[M(n) \le x < M(n+1)\]
となります。たとえば、\(x=10^{34}\) に対しては、\(n = floor(M^{-1}(10^{34})) = floor(3.4) = 3\) と計算されるため、\(10^{34}\) はマシモスケール3の巨大数となります。
マシモスケールは、巨大数のクラスの概念を拡張したものとなります。ある程度以上の大きさの巨大数を理解する時には、順序数の概念を理解することが必要となりますが、この関数で序列化することで、順序数の概念を知らなくても、この巨大数はこのレベルの大きさなのだな、という理解をすることができます。
マシモスケールは微小数の評価もできます。夏おこじょ数のマシモスケールは62なので、その逆数である冬おこじょ数のマシモスケールは-63となります。
このページに掲載していたマシモスケール一覧は、マシモスケールの記事に移動しました。
サブ関数[]
マシモ関数には、一般的な関数の他に、\(H, V, BHO, O, OF, L, D, FC, RC\) という9個のサブ関数が使われていますので、順次説明します。
H関数は、次の漫画に書いたように、ハーディー階層の順序数を自然数に変換してから、補間をした関数です。順序数の基本列には Wainer 階層を使います。\(x<0\)の時には\(H(x,n)=0\)とします。
V関数はVeblen 階層の1変数化に書いた関数で、\(x<0\)の時には\(V(x)=0\)とします。
BHO関数はバッハマン・ハワード順序数へに書いたように、Ordinal collapsing function に記載されている\(\psi\)関数と基本列に基づいて定義された、以下の関数です。\(x<0\)の時には\(BHO(x)=0\)とします。
\[BHO(n) = f_{\psi(\varepsilon_{\Omega+1})}(n)\]
O関数はU関数に相当するΨ₀(Ωω)の急増加関数によって次のように定義し、\(x<0\)の時には\(O(x)=0\)とします。
\[O(n) = f_{\vartheta(\Omega_\omega)}(n)\]
OF関数はΨ(ψᵢ(0))の急増加関数で、収束列は \(\psi(0), \psi(\omega), \psi(\Omega_\omega), \psi(\Omega_{\Omega_\omega}), ... \) のようになるような気がするので、そのようにしておきます。\(x<0\)の時には\(OF(x)=0\)とします。
追記: Ψ(ψᵢ(0)) という表記は不適切です。詳細は巨大数論に現れるよくある間違い#ψ_0(ψ_I(0))とはなんですか?参照。
\[OF(n) = f_{\psi(\psi_I(0))}(n)\]
FGHの評価が定まっていないBEAFのルギオン空間(L2)以上の巨大数については、BEAFのL空間をそのまま使います。ここから先は、滑らかな補間を考えるのは無意味なので、単純に線形補間で連続関数としておきます。\(x<0\)の時には\(L(n)=0\) です。
\[L(n) = \lbrace Ln,10\rbrace_{10,10}\]
D関数はローダー数で定義されているD関数を
\[D(m,n) = D^m(n)\]
と2変数化して線形補間したもので、\(m<0\)の時には\(D(m,n)=0\) とします。
\(m(99)\)までは計算可能関数によって定義できる数字で、\(m(100)\)から計算不可能関数によって定義される数字の世界に入ります。
計算不可能レベルの最初はFC関数で、CKF関数を使って
\[FC(x) = f_{CKF(x)}(1000)\]
として、線形補間した関数です。基本列はFC functionのように定めます。ただし、\(x<0\)の時には\(FC(x)=0\)とします。\(x \ge 20\)で計算不可能関数の領域に入ります。次のRC関数は、ふぃっしゅ数バージョン7のラヨ階層で
\[RC(x) = R_{CKF(x)}(10^{10})\]
として、線形補間した関数です。ただし、\(x<0\)の時には\(RC(x)=0\)とします。
議論[]
英語版のブログには、Mashimo functionとMashio scaleに分けて投稿しました。Mashimo functionのコメントで、色々な議論が出ましたが、得に問題となったのはFC関数のFC(20)以降（つまり、M(100)以降）です。FGHの定義には基本列が定義されていることが必要ですが、\(\omega_1^{CK}\)以上の順序数の基本列をどうするか、ということです。その点については、そのコメント欄での議論を元に、FC functionの節に定義を書いてみましたが、ここはまだ議論が続くところだと思います。