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巨大数スケール関数の作成は、Veblen階層まで来たので、次はバッハマン・ハワード順序数を目指します。そのためには順序数崩壊関数を使うので、まずは整理します。

Googology wiki にはΘ関数Φ関数Ψ関数のページがあり、急増加関数では1変数のθ関数が使われています。Wikipedia では、Ordinal collapsing function で\(\psi\)関数が説明されています。ここでは、急増加関数のページにおけるθ関数と、Wikipedia の ψ関数を比較します。

順序数 \(\alpha\) \(\vartheta\) 関数 \(\psi\) 関数 \(f_{\alpha}(n)\) のBEAF近似
\(\epsilon_0\) \(\psi(0)\)
\(\epsilon_1\) \(\psi(1)\)
\(\phi(2,0) = \zeta_0\) \(\psi(\Omega)\) \(X \uparrow\uparrow\uparrow X \&\ n\)
\(\phi(2,1) = \zeta_1\) \(\psi(\Omega 2)\)
\(\phi(3,0)\) \(\psi(\Omega^2)\) \(X \uparrow^{4} X \&\ n\)
\(\phi(1,0,0) = \Gamma_0\) \(\psi(\Omega^\Omega)\) \(\lbrace X,X,1,2 \rbrace \&\ n\)
\(\phi(1,0,1) = \Gamma_1\) \(\psi(\Omega^\Omega 2)\) \(\lbrace X,2X,1,2 \rbrace \&\ n\)
\(\phi(1,1,0)\) \(\psi(\Omega^{\Omega+1})\) \(\lbrace X,X,2,2 \rbrace \&\ n\)
\(\phi(2,0,0)\) \(\psi(\Omega^{\Omega 2})\) \(\lbrace X,X,1,3 \rbrace \&\ n\)
\(\phi(1,0,0,0)\) (Ackermann ordinal) \(\vartheta(\Omega^2)\) \(\psi(\Omega^{\Omega^2})\) \(\lbrace X,X,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
\(\phi(1,0,0,0,0)\) \(\vartheta(\Omega^3)\) \(\psi(\Omega^{\Omega^3})\) \(\lbrace X,X,1,1,1,2 \rbrace \&\ n\)
小ヴェブレン順序数 \(\vartheta(\Omega^\omega)\) \(\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\) \(\lbrace X,X (1) 2 \rbrace \&\ n\)
大ヴェブレン順序数 \(\vartheta(\Omega^\Omega)\) \(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})\) \(\{X,X,2(1)2\}\&n\)
\(\vartheta(\Omega^{\Omega^\Omega})\) \(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}})\) \(\{X,X,2(0,1)2\}\&n\)
\(\vartheta(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}})\) \(\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}})\) \(\{X,X,2((1)1)2\}\&n\)
バッハマン・ハワード\(\vartheta(\varepsilon_{\Omega+1})\)\(\psi(\varepsilon_{\Omega+1})\) \(X\uparrow\uparrow X\&X\&n\)

ハーディー階層やFGHによる定義をするためには、基本列を定める必要があります。基本列の定め方については、Ordinal collapsing function#Standard sequences for ordinal notations に書かれています。この基本列を使って、BHO関数を

\[BHO(n) = f_{\psi(\varepsilon_{\Omega+1})}(n)\]

と定義します。

\begin{eqnarray*} BHO(0) &=& f_{\psi(\Omega)}(0) = f_{\psi(0)}(0) = f_{\omega}(0) = 0 \\ BHO(1) &=& f_{\psi(\Omega^\Omega)}(1) = f_{\psi(\Omega^{\psi(0)})}(1) = f_{\psi(\Omega^{\omega^{\omega}})}(1) \\ &=& f_{\psi(\Omega)}(1) = f_{\psi(\psi(0))}(1) = f_{\psi(1)}(1) = f_{\psi(0)^{\psi(0)}}(1) \\ &=& f_{1}(1) = 2 \\ BHO(2) &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\Omega}})}(2) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\psi(0)})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega^{\omega}}})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+2}})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}\omega})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}2})}}})}(2) \\ &=& f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}}+{\omega^{\omega}}+\omega+2)}}})}(2) \\ \end{eqnarray*}

\(BHO(2)\)の計算で、一番右肩に \(\psi{(\Omega^{\omega^{\omega+1}}+{\omega^{\omega}}+\omega+2)}\) と \(\psi\) の中が後続順序数にまで展開できたので、これを \(\psi(\alpha+1)\) とすると、その基本列の2番目は \(\psi(\alpha)^{\psi(\alpha)^{\psi(\alpha)}}\) となり、ここから書き下すのがつらくなってきます。

ここまで来ると補間を実際に計算する事はなさそうですが、一応収束列で補間して連続関数としておきます。その時に、引数の値は減じません。たとえば、

\[BHO(2) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi{(\Omega^{\psi(0)})}}})}(2)\]

なので、

\[BHO(1.5) = f_{\psi(\Omega^{\Omega^{\psi(0)}})}(2)\]

といったような感じです。後続順序数の時には、数値で線形補間します。

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