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テトレーションの連続関数化では、テトレーションの連続化と逆関数を拡張して、ペンテーション、そして矢印表記を連続関数化しました。続いて、チェーン表記の連続関数化について考えます。

まずは、矢印表記の式を3つ組チェーン表記に直して、定義域を \(x > 0, n \ge 1, n \in \mathbb{N}\) とします。

\begin{equation} a \rightarrow x \rightarrow n = \begin{cases} a^x & \text{if } 0 < x \le 1 \text{ or } n=1 \\ a \rightarrow (a \rightarrow x-1 \rightarrow n) \rightarrow n-1 & \text{if } 1 < x, 1 < n \end{cases} \end{equation}

この定義を一般化して、任意長のチェーンにするためには、\(n \in \mathbb{N}\) を実数に拡張する必要があります。

チェーンの数字はすべて正の実数、\(x>0, y>0, a>0, A\) を任意長のチェーンとして

\begin{equation} A \rightarrow x \rightarrow y = \begin{cases} a^{xy} & \text{if } 0 < y \le 1, A=a \\ A \rightarrow xy & \text{if } 0 < y \le 1, \text{Aが2個以上の数字} \\ A \rightarrow x \rightarrow (y-1) & \text{if } 0 < x \le 1, 1 < y \\ A \rightarrow (A \rightarrow x-1 \rightarrow y) \rightarrow y-1 & \text{if } 1 < x, 1 < y \end{cases} \end{equation}

とします。この定義を採用すると、次の計算のように、グラハム数を \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64.4206 \rightarrow 2\) と近似できます。

\(g(n)=3 \uparrow^n 3\) として、

\begin{eqnarray} 3 \rightarrow 3 \rightarrow log_3(4)/3 &=& 4 \\ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 0.4206 &\approx& 4 \\ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 0.4206 \rightarrow 2 &\approx& 4 \\ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 1.4206 \rightarrow 2 &\approx& 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 = g(4) \\ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2.4206 \rightarrow 2 &\approx& 3 \rightarrow 3 \rightarrow g(4) = g^2(4) \\ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 64.4206 \rightarrow 2 &\approx& g^{64}(4) \\ \end{eqnarray}

ただし、この定義だと \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 = 27\), \(\lim_{h \to +0}(3 \rightarrow 3 \rightarrow 1+h) = 1\) となって、連続関数とはなりません。\(a^{xy}\) のところを、\(y=0\) の時に\(ax\)となるように定義する必要があります。それは簡単にできますが、難しいのは \(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 = \lim_{h \to +0}(3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 1+h)\) を連続にするところです。

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