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ふぃっしゅ数と海外の巨大数の作り方の比較について、計算可能関数の範囲内で、個人的に考えることを書きます。

海外の巨大数論では、BEAFが標準になっていて、考え方は

といったような拡張です。

この「次元の拡張」という考え方と、もう一つは「関数をネストする」という考え方があります。Bird's Nested Array Notation です。たろう氏の「多重リストアッカーマン関数」も、同じ考え方です。ネストのしかたを色々と工夫して強めていくと、バードの配列表記ができたりいろいろできるような感じです。

他にも色々な海外産の巨大数作成方法がありますが、海外で生まれた巨大数はこの2つの考え方が標準だろうと思います。まだあまり理解していないので、あやしいですが…。

それに対して、ふぃっしゅ数は考え方のスタートが違いました。「数から数への変換である関数」から、「関数から関数への変換である写像」「その写像からその写像へと変換する写像」と、概念を高めて行くことで、どこまで関数が大きくなるだろうか、というのがふぃっしゅ数の考え方です。この抽象化を高めるという考え方が分かりにくいことが、ふぃっしゅ数がなかなか理解されない理由ではありますが、こういう考え方で巨大数を作った例は海外の巨大数論にはありませんから、そこがふぃっしゅ数のオリジナリティである、と言えます。

バージョン4と7は計算不可能の話なので除外して、バージョン5が最高傑作だと思っています。バージョン3までは、バージョン5ができるまでの試作品のようなもので、バージョン5がいきなり理解できるのであれば、バージョン3までを理解する必要もありません。

バージョン3まではひとまず忘れてバージョン5の定義を見ると、比較的シンプルです。このシンプルな定義で、BEAFで言うところの Pentational array のレベルに到達したというのは、すごいことだと思います。ちなみに、私はまだ Pentational array までは理解できていませんが、そこまで理解するよりは、ふぃっしゅ数バージョン5を理解する方が早いはずです。

バージョン6は、複雑にした割にはたいしたことなかったという感じです。同様の発想で、ここから先を効率的に伸ばすのは大変そうです。BEAFと同様の「次元の拡張」をすれば、それなりに伸びるのだとは思いますが、それでははじめからBEAFを使った方がいいです。やはり、バージョン5が当初の発想にもとづいた一番面白い巨大数だろうと思います。

計算不可能の話もしておくと、バージョン4やバージョン7は、それぞれビジービーバーとラヨ関数に「神託」を加えることで階層を作っています。この階層を作るにあたって、関数から関数への変換を定義する必要があります。ふぃっしゅ数は、もともと「関数から関数への変換」を考えていたので、簡単にそのような定義ができました。他の巨大数作成手法で同様のことをしようとしても、けっこう面倒ではないかと思います。

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