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Z 2

\(\mathcal{L}_2\)

構造

\(\mathcal{M}=\{ 0,S,+,\cdot,<,=,\in\}\)

すべての自然数からなる集合と、そのいくつかの部分集合からなる集合は構成可能なため、一階論理で表現できる。

一階部分の領域が ω であれば ω モデル。さらに S が P(ω) であれば標準モデル。

理論

量化子のない公理と、推論規則に演繹しかない立場では、普遍性を証明するのに無限の時間がかかり、集合も外延的な手法で可能なものしか定義できない。

有限の時間で普遍性を証明する手段に帰納法があり、無限集合を定義するのには内包公理がある。

アリティ n の全単写の関数、たとえば \(2^{x_1}\cdot 3^{x_2}\cdot \cdots \cdot p_n^{x_n}\) で、並べられた要素にそれぞれことなる自然数を対応させることができるため、間接的に集合の集合を考えることができる。もっと言えば根以外の頂点に自然数のラベルが付いたツリー構造を自然数に置き換えることができる。ブーフホルツのヒドラに近い。

\(\forall m\forall n\forall a\forall b[p_1=2\land(p\not=p_a\cdot p_b\to p\in P)\land (m<n\leftrightarrow p_m < p_n)]\)

これを応用して関数を集合で表現することも可能。

帰納法を内包公理で表すと、

\(f(0)\in A\land\forall n(f(n)\in A\to f(n+1)\in A)\)

\(Z_2\) の公理

ロビンソン算術

内包公理

\(RCA_0\) と \(WKL_0\)

\(ACA_0\)

算術的な述語で述語を定義することができる。\(\Sigma^0_1-CA_0\) や \(\Pi^0_1-CA_0\) と同値。

\(\forall x_1(\forall x_2\forall x_3\cdots\forall x_n\forall x(\phi(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,x)\leftrightarrow x_1\in A_1)\)

\(\forall x_2(\forall x_1\forall x_3\cdots\forall x_n\forall x(x_1\not\in A_1\land\lnot\phi(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,x)\leftrightarrow x\in A_2))\)

\(\forall x_3(\forall x_1\forall x_2\cdots\forall x_n\forall x(x_1\not\in A_1\land x_2\not\in A_2\land\phi(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,x)\leftrightarrow x_3\in A_3))\)

...

こんな感じ

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