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関数の表現の整理

関数の定義

集合と同様に外延的な定義と内包的な定義がある。また関数と集合は等価である。

外延的な定義

定義域内のそれぞれの要素が写る先を一つずつすべて定義する。この方法で無限の定義域を持つ関数を定義することは有限の存在にはできない。

内包的な定義

普遍的な規則で定義域内の要素が写る先を定義する。定義域はその規則の議論領域内に収まらなければならない。規則を表すのに最低限必要な表現力が強力であればあるほど、より強い関数を定義できるようになる。

関数の表現

1.形式的に名前を付けるだけ。個々の意味までは掘り下げない。

f_0,f_1,f_2,...

2-1.陽関数

y=E;Eはyを含まない演算やらなんやらによる表現

2-2.陰関数

E=0;Eはyを含んでもよい

3.λ計算

λx.E

4-1.(添え字付き)媒介変数による論理式、定数を割り当てる

t_0=0∧t_1=1∧t_2=2∧...
t_0=0∨t_0=1∧t_1=1∨t_0=2∧t_1=2∧∧t_2=2∨...

4-2.抽象的な意味、すなわち引数と戻り値を媒介するそれぞれの変数に具体的な意味を媒介する変数、あるいは式を割り当てる

u=x→v=y
u=x→v=E

5.ゲーデル数化 名前 全域性の表現 高階関数

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