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概要

言語Lが完全であるとは、Lで記述される任意の文章について、それが正しいのであれば正しいという証明をLによる表現のみで導くことができることを意味する。

「正しい」とはどういうことかについては、最終的に各個人の直観なり信仰なりに委ねるしかなく、そこは数学で扱うところではない(完全かどうかも最終的には各個人に委ねることになる)。

モデルとは、2値論理に限定して、任意の概念について矛盾することなく真か偽を決定することで決まる。

Lが完全であるとき、モデルが存在するのであればそのモデルの存在をLから矛盾を導けないことで保証してもらうことができる。

言語Lで記述可能な式(簡単のため可算無限個だけ存在するとする)を \(φ_0,φ_1,φ_2,\cdots\) と並べる。

\(φ_0\) から真理値を矛盾が導かれないよう割り当てていく。

さて、ここで \(φ_n\) の真理値をどこまでも矛盾が導かれることなく割り当てることができたとき、すべての真理値を割り当て終えた後も矛盾が導かれないかどうかが問題となる。

矛盾しているのであればモデルは存在しない。また完全性が成り立つのであれば、必ず矛盾を導き出すことができる、すなわち矛盾しているという証明が存在する。

その証明に表れる式は有限個である(ここでは有限言語のみで考える)ため、任意の \(n\) の段階で矛盾が導かれないのであれば全体でも矛盾が導かれることはない。

よってコンパクト性定理が成り立つ。