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不完全性定理

概要

ある言語で記述可能な論証体系における任意の証明が妥当であるかどうかの判断を、その理論による形式的な証明におきかえることができる場合にのみ成り立つ。

無限言語への拡張

無限に長い証明によって、任意の理論は可算なモデルにおける有限の長さの証明において無矛盾であることを証明することはできる。

不完全性定理からの脱出

妥当であることの判断をその理論による証明に置き換えられないような証明の方法によって、その論証体系があずかるその理論の無矛盾性を自分で証明できることが考えうる。

1階述語論理は完全性定理の意味において完全であるため、すくなくとも1階述語論理よりも抽象な表現が可能で、モダス・ポーネンスと一般化の組み合わせで代用できないほどに高度な推論規則を備えていなければならない。

そんな都合のいい言語が存在するかどうか、存在を示すことができたところで実際に定義できるかどうか。

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