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ラヨ関数

  • 0はいかなる数の後者でもないただひとつの自然数
  • 任意の自然数は後者と呼ばれるただひとつの自然数を持つ
  • 異なる自然数は異なる後者を持つ
  • 任意の自然数の部分集合は最小値を持つ

以上をそれぞれの言語に翻訳すればよい。またラヨ関数を定義するためには以上を非自明な公理としてあれば十分である。

拡張

命名する言語の拡張

  • その言語で定義できない関数の導入→ふぃっしゅ数バージョン7
  • ラヨ階層を議論対象へ追加、あるいは真理述語の導入→ビッグフット
  • 真理述語の階層を議論対象へ追加→リトルビッゲドン、サスクワッチ(ビッグビッゲドン)
  • 関数記号の導入→FOFT(1階関数論理)
  • 無条件の定義可能性に関する述語の導入→(未定)

FOST で記述できない程十分複雑な関数 f を FOST に追加することでラヨ関数を定義できるようになる、更には f をいかなる言語でも定義できない関数とすることですごいことになる。FGH で f[ω_1] が役に立つようになる。

ここでいくつかの新しい巨大関数の定義が考えられる。

  1. f をあらかじめ何らかの関数に固定したうえで、n 文字で記述される論理式でユニークに定義されるいかなる a_0 の値よりも大きい最小の自然数
  2. それぞれの論理式において、a_0 の値が最大になるように f が設定される、そのようなfが存在しない場合はその論理式はなにも命名しないとした上で、後はラヨ関数と同様に定義される関数

\(f^\text{DEF}_1\) を厳密に定義不可能(well indefinable)な関数とする、すくなくとも \(f[ω_1]\) の複雑さを持っていなければならず、ここではひとまずこのくらいの複雑さを持った関数とする。FOST+ \(f^\text{DEF}_1\) を対角化した関数はビッゲドンよりも強い? \(f^\text{DEF}_2\) を \(f[ω_1\cdot2]\) ほどに複雑で定義不可能な関数とし、FOST+ \(f^\text{DEF}_1\) + \(f^\text{DEF}_2\) を対角化した関数の強さは、とても強い。α を α_1,α_2,α_3,... の極限とする。

自然数の抽象化

\(∀x(φ(x)∧x\in0)\)

\(∀x(φ(x)∧x\in a→x\in succ(a))∧a\in succ(a)\)

\(a≠b→succ(a)≠succ(b)\)

φ はFOSTで記述できない述語。a_0 がユニークに定義されなくてもある自然数 n の条件を必ず満たされなければならないとき、その論理式は n を命名しているとする。

計算可能レベルに還元できることが望ましい

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