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ラヨ関数

集合から自然数の値へのエンコードにはいくつかの方法が考えられる。

0 := {{}}, suc(a) := {a}

0 := {}, suc(a) := a ∪ {a}

0 := {}, suc(a) := a ∪ P(a)

...

どれを選ぶかは本質的な問題とならない。

定義でフォン・ノイマン宇宙で考えると言ってあるので、論理式が無矛盾で命名する数を担当する変数がその宇宙の中のある自然数にしか設定され得なければ、ラヨ命名されたことになります。それぞれのラヨ命名する論理式そのものが公理となり、認められる公理としては、フォン・ノイマン宇宙がモデルとなりうる、1階の言語で表現可能な任意の公理が考えられます(ZFC全体は1階の言語で表現できませんが、ZFC上で実際に展開される議論であれば表現できます)。不完全性定理より、引数が十分大きければラヨ関数が返す値を求めることはできないかもしれませんが、その値は確かに存在します。できないことの証明もできません。

参照

完全性定理とコンパクト性定理

バリエーション

φ(x) がある有限個以下の値をとるとき、その最大値を返す関数も考えうるが、論理式をちょっと長くすれば一つに絞ることができるため本質的な拡張にはなってない。また、ラヨ命名するすべての論理式からなる体系は一階述語論理で有限の文字数で表現できないため、(標準的な)一階の言語ではラヨ関数を定義できない。具体的には・・・

二階述語論理

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