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定義はBM2によります。

ψ関数はDeedlit氏の定義を若干変えて採用しています。[1][2][3] Ψ関数の左端の0は省略してます。

C は Main Ordinal Notation System の定義を採用しています。

B は以前の解釈による C

σ=C(Ω_2\cdot2,0) a^+=C(Ω_2,a)

要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2+ψ_{Ω_3}(Ω_ω\cdotΩ_2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)&=&ψ_Ω(ε_{Ω_ω+1})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2}\cdotΩ_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,0)(1,1,1)\\(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2}\cdot{Ω_{ω^2}})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^3})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_Ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{Ω_ω})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(1,1,1)\\(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_{Ω_Ω})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,0)\\(3,2,1)(4,2,1)(5,2,0)(4,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(1))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_I(ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)\\(3,1,0)(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(I))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)\\(3,1,0)(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(I^2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(4,2,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(ε_{I+1}))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_{I_ω}(0))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)\\(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_M(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_{M_ω}(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)\\(2,0,0)&=&Ψ_Ω(Ψ_K(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)\\(3,1,0)(4,2,1)(5,2,1)(6,2,0)(5,2,1)\\(6,2,0)&=&Ψ_Ω(Ψ_{Ξ(1,Ψ_{Ξ(K+1,0)}(0)+1)}(Ξ(1,Ψ_{Ξ(K+1,0)}(0)+1)))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)&=&Ψ_Ω(Ψ_{K_ω}(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)&=&B(B(Ω_2↑↑ω,0),0)\\&=&\text{Strength of Degrees of Reflection}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)&=&B(B(B(Ω_3+1,0),0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)&=&\\&=&\text{Theoretical ordinal of Z\(_2\)?}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,0)(2,0,0)&=&\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,1,0)(3,1,0)\\(2,0,0)&=&\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)&=&\end{array}

出典

  1. 弱到達不可能基数まで
  2. 弱マーロ基数まで
  3. 弱コンパクト基数まで

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