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定義はBM2によります。

ψ関数はDeedlit氏の定義を若干変えて採用しています。[1][2][3] Ψ関数の左端の0は省略してます。

C は Main Ordinal Notation System の定義を採用しています。

B は以前の解釈による C( Cの解釈が本当に正しいのかという問題は依然として残っている。)

\(σ=C(Ω_2\cdot2,0)\quad a^+=C(Ω_2,a)\)

Z_2まではAlemagno12氏と(たぶん)一致している。そこからさきはほとんど予想ということで。

要望に応じて追加します。 \begin{array}{II} (0,0,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω)\\&=&C(C(Ω_2+1,0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(1,1,0)(2,2,1)(3,1,0)\\(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω+ψ_{Ω_2}(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,1,0)(2,2,1)(2,2,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ+Ω_ω\cdot2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,0)(2,2,1)\\(3,2,0)(2,2,0)(3,3,1)(4,2,0)&=&ψ_Ω(Ω_ω\cdotΩ_2+ψ_{Ω_3}(Ω_ω\cdotΩ_2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_ω^2)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(3,2,0)&=&ψ_Ω(ε_{Ω_ω+1})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2}\cdotΩ_ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,0)(1,1,1)\\(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^2}\cdot{Ω_{ω^2}})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(2,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{ω^3})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_Ω)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(1,1,1)&=&ψ_Ω(Ω_{Ω_ω})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(1,1,1)\\(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(Ω_{Ω_Ω})\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,0)\\(3,2,1)(4,2,1)(5,2,0)(4,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(1))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_I(ω))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)\\(3,1,0)(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(I))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,1,1)\\(3,1,0)(2,1,1)(3,1,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(I^2))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(4,2,0)&=&ψ_Ω(ψ_I(ε_{I+1}))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_{I_ω}(0))\\ (0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,0)\\(2,0,0)&=&ψ_Ω(ψ_M(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(3,1,1)&=&ψ_Ω(ψ_{M_ω}(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)\\(2,0,0)&=&Ψ_Ω(Ψ_K(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,0)\\(3,1,0)(4,2,1)(5,2,1)(6,2,0)(5,2,1)\\(6,2,0)&=&Ψ_Ω(Ψ_{Ξ(1,Ψ_{Ξ(K+1,0)}(0)+1)}(Ξ(1,Ψ_{Ξ(K+1,0)}(0)+1)))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)&=&Ψ_Ω(Ψ_{K_ω}(0))\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)&=&B(B(Ω_2↑↑ω,0),0)\\&=&C(C(Ω_2\cdot2+C(Ω_2+σ^{++},0),0),0)\\&=&\text{pDAN}\\&=&\text{LSO}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)&=&B(B(B(Ω_3+1,0),0),0)\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(2,2,0)&=&C(C(Ω_2\cdot2+C(Ω_2+σ^{+++},0),0),0)\\&=&\text{sDAN}\\(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)&=&C(C(Ω_2\cdot2+C(Ω_2+C(Ω_2+1,σ),0),0),0)\\&=&\text{DAN}\\&=&\text{PTO of Z\(_2\) ?}\end{array}


備考 予想

1行でprincipal typeから積み上げた高さ(正式になんて呼ぶのか分からん)、2行が型の大きさ、3行が型の階層(これは予想)にそれぞれ対応。

3行でおそらくSystem F_ωの強さ。Z_ωの証明論的順序数と言いたいけどそもそもZ_ωが具体的に定式化されているのやら。Z_2の証明論的強さもよく分かってない段階で先走り過ぎだけれども。

4行でZFC+可測基数の存在のPTOを超えてるかもしれない、という気持ち。

Cの扱い方が正しいという自信はないが、これが使えないとほかに比較対象がPTOくらいしかなくなってしまうので使わせてもらう。C(Ω_2*α,0) が System_α に相当するんじゃないかと。強配列表記はDANから先は問題があるようだ。

出典

  1. 弱到達不可能基数まで
  2. 弱マーロ基数まで
  3. 弱コンパクト基数まで