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KurohaKafka

こと 黒羽カフカ

ビューロクラット アドミン
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  • 居住地 Japan
  • KurohaKafka

    これが自然数だ、という直観的イメージをできるだけ公平に共有できるようにしたい。

    たとえば日常的に「3」という数字で表される数は、どういう特徴をもっているか?

    • 1より大きい
    • 2より大きい
    • 4より小さい
    • 素数
    • 三国志
    • フェルマーの最終定理

    etc…

    これらの中から数学的特徴を必要最低限取り出し、紙に書くなりネットに投稿するなりしてどこの誰とでも議論できるようにしたい。そのために共通の言語が必要となる。形式言語を使う。

    大前提として、直観的イメージはそのすべてを形式的表現に置き換えられるものではないとする。

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  • KurohaKafka

    順序数の整理

    2017年9月11日 by KurohaKafka

    全体的に推測

    σ=C(Ω_2*2,0)

    C(σ,0)=ψ_Ω(ψ_I(0))

    C(σ+C(Ω_2+σ+1,0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ω)) C(σ+C(Ω_2+σ+C(Ω_2+σ,0),0),0)=ψ_Ω(ψ_I(ψ_I(0))) C(σ*2,0)=ψ_Ω(ψ_I(I))

    σ^++が現れたところからσ^+の意味がC(Ω_2+σ^++,0)に移される。

    C(Ω_2,σ)が現れたところからσの意味がC(Ω_2+C(Ω_2,σ))に移される。

    以下同様(と推測)

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  • KurohaKafka

    ブーフホルツあまり関係ないけどまぁいいだろう。

    バシク行列の2次元の表現を、1次元の数列と入れ子構造、すなわち数列でラベルがつけられたヒドラツリーで表現する。

    バシク行列をそのままツリーに置き換えるやり方

    1行目の値でツリーをつくる。

    2行目以降の値はそれぞれの1行目の値が担う頂点に数列のラベルとして付け加える。

    2行でωを使わないブーフホルツのヒドラと同じ強さになる。

    (0,0)(1,1)=+(0(1))

    (0,0)(1,1)(2,1)=+(0(1(1)))

    (0,0)(1,1)(2,1)(1,1)=+(0(1(1))(1))

    (0,0,0)(1,1,1)=+(0,0(1,1))

    多次元空間上のツリー

    1行目の値で2次元上に広がるツリーを作る。

    n行目の値で、1行目の値が担う頂点をその値だけn+1番目の次元の方向に上げる。

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  • KurohaKafka

    昔バシク行列の強さと計算可能性を計ろうとして失敗したシステム。


    情報とは、0と1の数列や物体の配列など、手段や媒体は何でもいいが、可算無限の意味を表すことができる表現である。

    任意の意味AとBにつき、AをBへ移す写像fが存在する。

    任意の意味Aにつき、Aを含むクラスが存在する。

    定義域Aの要素を値域Bの要素へ移す写像fはAとBどちらにも含まれない。

    任意の写像fにつきfについて閉じているクラスが存在する。

    以上のすべての意味を記述できる言語はいかなる関数も記述できるが、そのような言語は存在しない。

    (関数型言語はすべてを関数として表現する。関数にあちこち写される情報のあり方やデータ構造を重視するのがオブジェクト指向、たぶん)

    用意するもの

    環境 \(Γ\);

    すべての自然数とその型 \(0:M(0),1:M(0),2:M(0),\cdots\)

    ここではすべての自然数からなる集合をM(0)とする。

    後者関数とその型 \(m(1)::=λn.f(nfx):N→N\)

    多相関数 \(λx.nx:*→*\)

    ここで自然数 n がすでに多相的な扱いをされている。

    再帰 \(f(f)\)

    型推論

    \(\displaystyle \frac{Γ|-f:∀α.α→α\quadΓ|-x:A}{Γ|-f(x):A}\)

    m(n)変換

    \(m(n)\in M(n)\)

    \(M(n+1)::=M(n)→M(n)\)

    αが極限順序数のとき、

    \(M(α)::=\cup_{n0 として、

    \(m(α+n+1)::=λm.nm:M(α+n)→M(α+n)\)

    \(m(ω+2)m(ω+1)m(ω)(x)=f_{ε_0}(x)\)

    以上で m(ω^ω) つまり f[φ(ω,0)] まで計算可能

    m(n) 変換では多相化の範囲が有界であるため、λx.n ……


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  • KurohaKafka

    えらく簡単な計算は、 「a_1を入力されたらb_1を返す、a_2を入力されたらb_2を返す、a_3を入力されたら・・・」 という関数=プログラムがあって、実際にa_iを入力されたらb_iを返す、というような感じになる。

    あらかじめ「これを入力されたらこれを返す」というように、それぞれの入力に対するそれぞれの答えをすべて用意しておく方法ですべての計算が1ステップで終了する。外延的。

    有限種の入力に対する答えを計算するだけなら全部外延的にやっていけばいい。

    無限種の入力に対しては、無限に長いプログラムが許されるならそりゃ同じく全部外延的にやっていけばいい。

    でもそれは現実的でないので、内包的に有限のプログラムによる計算で、無数に想定される入力に対しどこまでやれるか、という問題になる。

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