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バシク行列システム展開ルール BM4 の定義を数式だけで書いてみました。

バシク行列システム(BM4)

\begin{eqnarray*} \mathrm{巨大数:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\ \mathrm{巨大関数:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n+1})[n])\\ \mathrm{発展ルール:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}({\boldsymbol S}_0\cdots{\boldsymbol S}_{X-2}[f(n)])&(\mathrm{if}~\forall y~S_{(X-1)y}=0)\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{活性化関数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{行列:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{X-1}\\ \mathrm{列:}~{\boldsymbol S}_x&=&(S_{x0},S_{x1},\cdots,S_{x(Y-1)})\\ \mathrm{良い部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}_0{\boldsymbol S}_1\cdots{\boldsymbol S}_{r-1}\\ \mathrm{悪い部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&{\boldsymbol B}_0^{(a)}{\boldsymbol B}_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}_{X-2-r}^{(a)}\\ \mathrm{悪い部分の列:}~{\boldsymbol B}_x^{(a)}&=&(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots,B_{x(Y-1)}^{(a)})\\ \mathrm{悪い部分の要素:}~B_{xy}^{(a)}&=&S_{(r+x)y}+a\Delta_{y}A_{xy}\\ \mathrm{上昇量:}~\Delta_{y}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(X-1)y}-S_{ry}&(\mathrm{if}~y\gt t)\\ 0 &(\mathrm{if}~y\leq t) \end{array}\right.\\ \mathrm{上昇行列:}~A_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll} 1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P_{y})^a(r+x)))\\ 0 &(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ \mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S_{(X-1)y}\gt 0\}\\ \mathrm{bad root:}~r &=& P_t(X-1)\\ S_{xy}~\mathrm{の親}:~P_{y}(x)&=&\left\{\begin{array}{ll} \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \land \exists a( p=(P_{y-1})^a(x))\} & (\mathrm{if}~y\gt 0)\\ \max\{p|p\lt x \land S_{py} \lt S_{xy} \} & (\mathrm{if}~y=0)\\ \end{array}\right.\\ \end{eqnarray*}

ペア数列システム

その特殊形であるペア数列数の展開ルールを、上記を単純化して書いたものが下記です。

\begin{eqnarray*} \mathrm{巨大数:}~K&=&\mathrm{Pair}^{10}(9)\\ \mathrm{巨大関数:}~\mathrm{Pair}(n)&=&\mathrm{expand}\left((0,0)(1,1)\cdots (n+1,n+1)[n]\right)\\ \mathrm{発展ルール:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}((S_{00},S_{01})\cdots(S_{(X-2)0},S_{(X-2)1}))&(\mathrm{if}~S_{(X-2)0}=0) \\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ \mathrm{活性化関数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{ペア数列:}~{\boldsymbol S}&=&(S_{00},S_{01})(S_{10},S_{11})\cdots (S_{(X-1)0},S_{(X-1)1})\\ \mathrm{良い部分:}~{\boldsymbol G}&=&(S_{00},S_{01})(S_{10},S_{11})\cdots (S_{(r-1)0},S_{(r-1)1})\\ \mathrm{悪い部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&(B_{00}^{(a)},B_{01}^{(a)})(B_{10}^{(a)},B_{11}^{(a)})\cdots (B_{(X-2-r)0}^{(a)},B_{(X-2-r)1}^{(a)})\\ B_{x0}^{(a)}&=&\left\{\begin{array}{ll} S_{(r+x)y}+a(S_{(X-1)0}-S_{r0})&~(y=0 \land S_{(X-1)y}\gt 0)\\ S_{(r+x)y} &~(\mathrm{otherwise})\\ \end{array}\right.\\ \mathrm{bad root:}~r &=& P_t(X-1)\\ \mathrm{非零最下行:}~t &=& \left\{\begin{array}{ll} 1 & S_{(X-1)1}>0\\ 0 & S_{(X-1)1}=0\end{array}\right.\\ S_{x1}~\mathrm{の親}:~P_1(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S_{p1} \lt S_{x1} \land \exists a( p=(P_0)^a(x))\}\\ S_{x0}~\mathrm{の親}:~P_0(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S_{p0} \lt S_{x0} \}\\ \end{eqnarray*}

原始数列システム

さらにその特殊形である原始数列数の展開ルールを、上記をさらに単純化して書いたものが下記です。

\begin{eqnarray*} \mathrm{巨大数:}~K&=&\mathrm{Primivive}^{10}(9)\\ \mathrm{巨大関数:}~\mathrm{Primivive}(n)&=&\mathrm{expand}\left((0,1,\cdots,n+1)[n]\right)\\ \mathrm{発展ルール:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\ \mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{expand}((S_0,S_1,\cdots,S_{X-2})[f(n)])&(\mathrm{if}~S_{X-1}=0) \\ \mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}\underbrace{{\boldsymbol B}{\boldsymbol B} \cdots {\boldsymbol B}}_{f(n)~\mathrm{times}}[f(n)])&(\mathrm{otherwise}) \end{array}\right.\\ \mathrm{活性化関数:}~f(n)&=&n^2\\ \mathrm{数列:}~{\boldsymbol S}&=&(S_0, S_1, \cdots, S_{X-1})\\ \mathrm{良い部分:}~{\boldsymbol G}&=&(S_0, S_1, \cdots, S_{r-1})\\ \mathrm{悪い部分:}~{\boldsymbol B}&=&(S_r, S_{r+1}, \cdots, S_{X-2})\\ \mathrm{Bad~root:}~r &=& \max\{p|p \lt X-1 \land S_p \lt S_{X-1}\}\\ \end{eqnarray*}