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Koteitan

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    ラヨ数を理解するために、集合の世界を有向グラフで表した説明を書きました。 間違っていたらコメントで指摘下さい。

    • 追記 Koteitan(トーク) 2018年5月6日 (日) 06:29 (UTC)
      • ラヨ数にはZFCが公理として適用されるという見方、ZFCではないが自然数が定義できる程度のなんらかの定理は適用されているという見方、公理が存在しないという見方のいずれの解釈の人もいるので、このページの説明している解釈は一般的ではないことが分かりました。
      • ラヨ数に公理がないと、ラヨ命名される数が一意に定まらないことがあり得るようです。その場合は無効にする、という対策をすれば良さそうですが、もとのラヨ数の定義にはそのような仕組みはありません。
      • ZFCには置換公理図式があり、これは有限の論理式では表せないという意見がありました。確認中です。


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    Tranovsky's C Notation のツリー表示による図解です。

    • Edwin Shade, "A Complete Analysis of_Taranovsky's Notation" (Googology Wiki)
    • Boboris, 'Analysis of Taranovsky's Ordinal Notation with "standard OCFs."' (Googology Wiki)

    を参考にしました。

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    書いては見ましたが

    今考えると、停止性の証明可能性の観点では一番下の定義は蛇足で、上2つあたりがいいです。数の増加を考えるとどれが良いのかはわかりません。

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    ペア数列のヒドラ表記は ユーザーブログ:Koteitan/バシク行列のヒドラ表記 で解説しましたが、このポストではトリオ数列以上のバシク行列はどう表現されるか、展開はどう表現されるかを解説します。


    このポストで説明している表記法は、ユーザーブログ:KurohaKafka/バシク行列のブーフホルツのヒドラを応用した表現 (KurohaKafka, 2017.5.24) の「多次元空間上のツリー」をビジュアライズしたものです。

    このポストで説明している展開方法は、バシク行列システムの解説 2版 (Bashicu, 2017.6.25--2017.7.17, SlideShare) にある説明、つまり、BM2 をビジュアライズしようとしたものだったのですが、実際には SlideShare のものとは少し異なる展開方法になってしまいました。この新しい展開方法をもつシステムはBM2.1としてこちらに掲載しました。BM2は、BM1 が (0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,0)(1,1)(2,1)(3,1) で停止しなくなる問題を修正されたものですが、こちらのBM2.1でも同様の展開ができ、かつこちらの方がBM1に近く、ヒドラの動きから見ても本質的な修正になるのではないかと考えています。


    (注意)[2]の怒る親の選定方法がバシクさんのSlideShareと少し異なります。また、図8のΔの足し方も少し異なります。


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    ペア数列までのバシク行列のヒドラ表記の仕方の解説です。 一次資料は下記。

    • ユーザーブログ:KurohaKafka/バシク行列のブーフホルツのヒドラを応用した表現 (KurohaKafka, 2017.5.24)
    • バシク行列システムの解説(第2版)(Bashicu, 2017.6.25--2017.7.17, SlideShare)
    • W. Buchholz, "An independence result for "

    下記はε0~ζ0のペア数列のヒドラ表記の例です。



    次にバシク行列のヒドラの書き方を説明します。

    ペア数列をヒドラ表記に変換する方法を一気に説明するとこれになります。 実際は以下の手順で書いていくと書きやすいです。まずは1行目の数字を高さにして空の丸を書いていきます。 次に2行目を見て丸の中にラベルを書いていきます。 次に枝を付けます。注目する子ノードに対して、「1階層低くかつ一番右にあるノード」を親ノードとして、子ノードと親ノードを枝でつなぎます。これを全部のノードに対して行うと完成です。


    ここからはペア数列の展開の方法を説明します。ラベル0の子が刈られると親は怒ってn倍に分裂します。 1以上ののラベルの子が刈られるときは、刈られた子から親へ親へと辿りながら、刈られた子よりも小さなラベルを持つノードを探します。見つかったら、それがコピーされる親(bad root)になります。親が子の場所に遺族ごと階層方向にn+1倍にコピーされます。遺族というのは親より右にあるすべてのノードです。(点線で囲った部分)


    ペア数列とブーフホルツのヒドラの展開の違いです。

    伸び量
    ペア数列はn+1倍に伸びますが、ブーフホルツのヒドラは毎回2倍になり、nに依存しません。
    親のコピー先のラベル
    ブーフホルツの ……





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