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新しい関数の提案

Hex347 2016年2月26日 User blog:Hex347
恥ずかしいことに、この記事には大きな間違いが含まれています。

少なくともラヨ数より大きい数を作る方法を思いつきました。なので、ここに書き留めておきたいと思います。

定義

ラヨ関数は一階述語論理の上に構築されたZFC集合論を基礎として作られています。しかし、集合論はそのほかにも選択公理を認めない集合論、巨大基数が存在するという公理を付け加えた集合論、連続体仮説を否定するか肯定するかのどちらかの公理をZFC集合論に付け加えた集合論など様々なものがあります。 このことから、一階述語論理で表せる論理そのものを対角化した、「一階述語論理の上でx文字以内で構築できる論理で表すことが出来る数を返す関数f(x)」は明らかにラヨ関数よりも強いと考えられます。

ただし、論理はさまざまな種類があるので、それによって作られる物にはさまざまなものがあります。それらの中には数とはとても呼べないようなものも含まれています。これは難しい問題ですが、ペアノの公理を満たすものだけを数と定義すれば、うまく数と呼べないものを除けるのではないのでしょうか。

これを考慮した定義を言葉で表すのは難しいので、架空的な計算過程を書くことで定義とします。

  1. 一階述語論理を基礎として、その論理を定める物(公理や推論規則など)がx文字以内で構築できる論理全体のリストOを求める。
  2. Oのうち、ペアノの公理を満たす構造を定義できない論理を除いたリストQを求める。
  3. Qを構成する論理すべてに次の操作をする。
    1. この論理を使って定義できるペアノの公理を満たす構造全体のリストNを求める。
    2. Nを構成する構造すべてに次の操作をする。
      1. この構造である物のうち、この論理を使ってx文字以内で定義できる物全体のリストRを求める。
      2. リストRを構成する物のうち、「これより小さい物Aとこれの間には、必ずAより大きくこれより小さい物が存在する。」を満たすものを取り除く。大小関係はこの構造がペアノの公理を満たしているので、最初から定義できる。
      3. リストRの中で0から作る時に必要になるsucの数が最も多い物を、普通の自然数に変換して、このリストRをその自然数と置き換える。
    3. Nの構造はすべて普通の自然数に置き換わっているので、そのうち最も大きい物をこのリストNと置き換える。
  4. Qの論理はすべて普通の自然数に置き換わっているので、そのうち最も大きい数がf(x)の答えである。

3.2.2.で何をしているのか分かりにくいかもしれないので解説します。この操作は有限ではない数を取り除いています。ただし、有限ではないというのは超限順序数と同じ性質を満たすものと定義しています。これでこの関数は有限の数だけを返すはずです。

また、リストNを作る際には構造の定義の文字数の制限が必要かもしれません。他にも、リストOを求めるときに論理は無矛盾である物だけにする必要があるかもしれません。その他にも解釈によってさまざまな細かい差異があると思いますが、この関数の増加速度には影響しないと思います。

この操作により得られる数を返す関数を\(\text{Hex}(x)\)と定義します。

増加速度の推定

さて、この関数の増加速度を推定したいと思います。まず、明らかにラヨ関数よりも大きいです。なぜならば、ラヨ数のもとになっているZFC集合論は一階述語論理で有限の文字数(300文字ぐらい?)で表されるからです。さらに、論理そのものを対角化しているので、一つだけの論理を使っているラヨ関数よりも大きくなると思います。

ふぃっしゅ数バージョン7とは、神託である述語\(f(a)=b\)が一階述語論理で有限の文字数で構築できるならば、こっちのほうが大きくなります。

FOOTとは、FOOT独自の一階ウードル論理が一階述語論理で有限の文字数で構築できるならば、こっちのほうが大きくなります。また、一階ウードル論理が、一階述語論理を拡張したものではなく、ZFC集合論を拡張したものではないかと考えていますので、越えれると期待しています。

これ以上の関数は基礎とする論理を一階述語論理からさらに強い二階述語論理に変えるなどいくつかアイデアはありますが、一階ウードル論理が未知の存在なので大小関係を確かめることができませんので書きません。

\(\text{Hex}(347)\)としたときこの数をヘックス数とします。この数の大きさを推定します。

まず、ZFC集合論は一階述語理論の上に公理や記号など諸々合わせて300文字ぐらいで表されるから、Hex(347)としたとき、リストOの中に含まれます。さらに、ペアノの公理を満たすことが出来るから、リストQの中にも含まれます。

この時、ZFC集合論の中に対するリストNの中には\(\text{zero}=\{\},\text{suc}(x)=x∪\{x\}\)とした一般的な自然数の集合論での定義に使われる構造が含まれます。

さらに、この構造に対するリストRのうち最大値をとった数は\(\text{Rayo}(347)\)に正確に一致します。逆に、一致してて欲しいです。なので、少なくとも\(\text{Rayo}(347)≦\text{Hex}(347)\)です。

さらに、リストQの中、リストNの中にはさらに\(\text{Rayo}(347)\)よりも大きい数を作る物が含まれているかもしれません。なので、実際は遥かに\(\text{Rayo}(347)\)よりも大きいと思います。

ぜひ、意見を書き込んでください。

補足

定義を厳密化した物はこちらにあります。

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